\documentclass{article}

%% Created with wxMaxima 11.08.0

\setlength{\parskip}{\medskipamount}
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[russian]{babel}
\definecolor{labelcolor}{RGB}{100,0,0}
\title{{\Large {\sc Вывод метрики Шварцшильда из вариационного принципа Гильберта с помощью пакета wxMaxima}}
\author{Шитова~А.\,М.}}

\begin{document}
\maketitle
\abstract{
В данной статье приведено подробное описание алгоритма \mbox{Виктора} Тота (Victor Toth) по выводу метрики Шварцшильда на основе варианционного принципа Гильберта. Приведены физические основания данного вывода.}

\setcounter{section}{0}
\setcounter{subsection}{0}
\setcounter{figure}{0}

%Example of using Maxima for derivation
 %of Schwartzschild metric from Hilbert Variational principle.

\section{Пакеты сtensor и itensor в WxMaxima}

Для тензорных вычислений в Maxima --- открытой компьютерной алгебраической системе --- существуют три пакета: \textbf{atensor}, \textbf{ctensor} и \textbf{itensor}. 

Пакет \textbf{atensor} \cite{Maxima1} используется для алгебраических вычислений в различных алгебрах (например, в алгебре кватернионов). Два других пакета предназначены для символьных тензорных преобразований двух различных типов: по компонентам (пакет \textbf{ctensor} \cite{Maxima2}) и с помощью индексов (пакет \textbf{itensor} \cite{Maxima3}). В первом случае тензоры представлены как массивы или матрицы, тогда как во втором под тензорами понимаются функции их ковариантных, контрвариантных и производных индексов. Таким образом, в пакете \textbf{ctensor} такие тензорные операции как свёртка или ковариантное дифференцирование проивзодятся непосредственно с помощью компонент, а в пакете \textbf{itensor} --- с помощью индексов. Естественно, каждый из этих двух подходов имеет свои достоинства и недостатки. Индексные выражения, полученные с помощью пакета \textbf{itensor} могут быть переведены в координатное представление пакета \textbf{ctensor} с помощью функции \textbf{ic\_convert}.
 
 
Пакет \textbf{itensor} позволяет проводить вычисления в формализме Ла\-гранжа, а именно получать уравнения Лагранжа-Эйлера в индексной форме. 
Пример использования пакета \textbf{itensor} --- программа Виктора Тота \cite{Toth2} (см. также \cite{Toth}) для получения с помощью действия Эйнштейна-Гильберта тензора Эйнштейна (уравнений Фридмана) и сферически-симметричного статичного решения Шварцшильда. Хотя пример сопровождается поясняющими комментариями, на наш взгляд, неискушенному читателю следует более подробно пояснить основные моменты, как с точки зрения физики, так и с точки зрения программирования.   






В качестве примера использования пакета \textbf{ctensor} приведём также текст программы для вывода метрики Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема непосредственно из уравнений Эйнштейна (см. Приложение). Отметим, что для студентов методически более полезно проделать весь вывод, в том числе получение компонент тензора Эйнштейна, <<руками>>, так как, эти метрики --- немногочисленные примеры точных решений. 



\section{Вариационный принцип Гильберта}
  
  Известно, что Гильберт получил уравнения гравитации раньше, чем Эйнштейн опубликовал свою статью. Тем не менее, в начале \mbox{XXI} века появились работы, стремившиеся опровергнуть устоявшуюся точку зрения на историю этого фундаментального открытия. Однако, как было подробно показано в статьях \cite{Winterberg, Logunov}, альтернативного мнения на этот счет быть не может. История ясно говорит, что зарождение ОТО --- плод работы трёх людей: Эйнштейна, Гроссмана и Гильберта, и умаливать достижения кого-то из них некорректно и неэтично. Хотя определенные тайны всё же остались, в частности, неизвестным была вырезана часть записей из гранок статьи Гильберта. Оставим эту проблему историкам науки и перейдём непосредственно к рассуждениям Гильберта.

Первая аксиома Гильберта \cite{Hilbert} формулируется следующим образом: <<Закон физического события определяется мировой функцией Н (\textit{лагранжианом}), аргументы которой таковы:
\begin{equation}
g_{\mu\nu},g_{\mu\nu,l}=\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{l}},g_{\mu\nu,lk}=\frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^l\partial x^k},q_s,q_{s,l}=\frac{\partial q_s}{\partial x^l},(l,m,k=1,2,3,4),
\end{equation}
причем вариация интеграла $\int H \sqrt{|g|}dx_1  dx_2 dx_3 dx_4 $ обращается в нуль для каждого из 14 потенциалов $g_{\mu\nu}$ и $q_s$>>. Под $x_s$ понимаются наиболее общие пространственно-временные координаты (у Гильберта $w$), $g_{\mu\nu}$ --- введенные Эйнштейном гравитационные потенциалы, $q_s$ --- электродинамическтие потенциалы. Можно аналогично использовать и аргументы с контрвариантными индексами. 

 % Согласно второй аксиоме Гильберта, $H$ инвариантна относительно произвольных преобразований мирового параметра $w_s$(расшифровать ранее)


 
 
 
 
 
  Для того чтобы в уравнения гравитации входили лишь вторые производные  потенциалов $g^{\mu\nu}\!\!$, функция $H$ должна иметь вид $H=R+L$, где $R=R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$ --- скалярная кривизна четырехмерного многообразия ($R_{\mu\nu}$ --- тензор Римана), а $L$ --- функция только переменных $g^{\mu\nu}$, $g_{,l}^{\mu\nu}$, $q_s$ и $q_{sk}$. Для простоты Гильберт также предположил, что $L$ не зависит от $g_{,l}^{\mu\nu}$.
При вычислении вариации действия $\delta S=\int H \sqrt{g}d^4 x$ все члены, связанные с изменением $q$, необходимо занулить \cite{Landau} (что соответствует введению уравнений движения).  Из первой аксиомы Гильберта при варьировании по остальным 10 гравитационным потенциалам $g^{\mu\nu}$, получаем:
\begin{equation}
\delta S=\int\left(\frac{\partial \sqrt{-g}H}{\partial g^{ik}}
\delta g^{ik}+\frac{\partial \sqrt{-g}H}{\partial g^{ik}_{,l}}\delta \frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}+\frac{\partial \sqrt{-g}H}{\partial g^{ik}_{,lm}}\delta g^{ik}_{,lm}\right),
\end{equation}
откуда по теореме Гаусса%\footnote{об избыточности теоремы Стокса для определения тензора Римана см. \cite{Blinnikov}}
, полагая на границах интегрирования \mbox{$\delta g^{ik}\!\!=0$}, следуют 
10 дифференциальных уравнений Лагранжа, которые Гильберт назвал <<основными уравнениями гравитации>>\cite{Hilbert}:
 \begin{equation}\label{e3}
 \frac{\partial \sqrt{g}H}{\partial g^{\mu\nu}}-\sum\limits_k\frac{\partial}{\partial w_k}\frac{\partial\sqrt{g}H}{\partial g_{,k}^{\mu\nu}}+ 
 \sum_{k,l}\frac{\partial^2}{\partial w_k \partial w_l}\frac{\partial \sqrt{g}H}{\partial g_{,kl}^{\mu\nu}}=0,\quad(\mu,\nu=1,2,3,4).
\end{equation} 
 % \end{document}
Легко проверить, что вариационный принцип Гильберта приводит к уравнениями Эйнштена. Действительно, вычислим вариацию действия $\delta \int R\sqrt{-g} d^4x$:

%Действительно, выберем лагранжиан в виде $H=R+\Lambda$, где $\Lambda$ --- $\Lambda$-член. Тогда вариация действия $\  
  
  \begin{eqnarray}\label{e4}
   \delta S=\delta \int d^4 x\sqrt{-g}R=\delta\int d^4 x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=\nonumber \\
   =\int d^4 x\sqrt{-g}\left(\delta g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}+\frac{\delta \sqrt{-g}}{\sqrt{-g}}R+g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}\right).
  \end{eqnarray}
  
Рассмотрим вариацию $\delta \sqrt{-g}$. Прежде всего, докажем тождество: $\delta \text{det} A=\delta A \text{Sp}(A^{-1}\delta A)$, где $A$ --- произвольная матрица. Для этого рассмотрим вариацию логарифма (см., например, \cite{Hriplovich,Kokarev}): $\delta\, \text{ln}\, \text{det} A$:
\begin{equation}
\delta\, \text{ln}\, \text{det} A
=\text{ln}\,\text{det}(I+A^{-1}\delta A)=\text{ln}(1+\text{Sp}A^{-1}\delta A)=\text{Sp} A^{-1}\delta A.
\end{equation} 
Далее, варьируя единичную матрицу, <<хитро записанную>> в виде $g_{\alpha\beta}g^{\alpha\sigma}$, получаем: $\delta g_{\alpha\beta}g^{\alpha\sigma}+g_{\alpha\beta}\delta g^{\alpha\sigma}=0$ (аналогично можно показать, что $\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\beta}$). Следовательно, $\delta g_{\alpha\beta} g^{\alpha\sigma}=-g_{\alpha\beta}\delta g^{\alpha\sigma}$.

Таким образом, \begin{equation}
\delta\sqrt{-g}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g g^{\alpha\beta}\delta g_{\alpha\beta}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\alpha\beta}\delta g^{\alpha\beta}.
\end{equation}

 Третье слагаемое в уравнении \eqref{e4} не даст вклада в конечные уравнения, так как сводится к интегралу от полной дивергенции (см., например, \cite{Landau, Hriplovich}).
 % пояснить подробнее? Неясно всё-таки почему теорема Стокса избыточна
Таким образом,  \begin{equation}\label{eq5}
  \delta S=\delta \int d^4 x\sqrt{-g}R=\int d^4 x\sqrt{-g}\left(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} Rg_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}.
  \end{equation} 

В скобках образовался тензор Эйнштейна. Из принципа наименьшего действия для суммы вариаций $\delta S+\delta S_{m}$, где $S_m$ -- действие материи, можно получить уравнения Эйнштейна в их традиционной форме. В пустом пространстве, как  следует из уравнения \eqref{eq5}, ввиду произвольности вариации $\delta g^{\mu\nu}$, $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} Rg_{\mu\nu}=0$. 



%\section{Вывод метрики Шварцшильда}



\section{Алгоритм Виктора Тота для вывода метрики Шварцшильда из вариационного принципа Гильберта}

Решение Шварцшильда --- исторически первое точное решение уравнения Эйнштейна --- описывает геометрию пространства-времени вокруг незаряженного сферически-симметричного источника. Метрику Шварцшильда можно вывести прямо из вариационного принципа Гильберта и не переходя к уравнениям Эйнштейна.  

Разберём непосредственно действия алгоритма \cite{Toth}. Поясним пошагово, что делает каждая из описанных процедур.

\textit{Для начала необходимо подключить пакеты для тензорных вычислений \textbf{ctensor} и \textbf{itensor}.}

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i1)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
if get('ctensor,'version)=false then load(ctensor);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i1 Подключает пакет ctensor (если ещё не подключен) для тензорных вычислений

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i2)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
if get('itensor,'version)=false then load(itensor);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i2 Подключает пакет itensor (если ещё не подключен) для символьных вычислений с тензорными индексами.

\textit{Далее мы должны сконструировать тензор Римана. Для этого \mbox{В.~Тот} определяет вспомогательный симметричный тензор.}

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i3)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
remsym(g,2,0);
remsym(g,0,2);
remsym(gg,2,0);
remsym(gg,0,2);
remcomps(gg);
imetric(gg);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i3 Убирает все симметрии из тензоров \textbf{g} и \textbf{gg} с 2мя ковариантными индексами; аналогично с 2мя контрвариантными. Очищает компонентные значения тензора \textbf{gg}. Объявляет тензор \textbf{gg} метрикой.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i9)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
icurvature([a,b,c],[e])*gg([d,e],[])$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i9 Умножает тензор кривизны (Римана) с компонентами $R_{abc}^{e}$ на метрический тензор $gg_{de}$. (\textit{Осуществляем переход от смешанных компонент тензора кривизны к ковариантным}.)

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i10)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(expand(%)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i10 Сворачивает по повторяющимся индексам $e$ предыдущее выражение, предварительно осуществив упрощение и заменив немые индексы (\textit{Функция \textbf{expand} «улучшает» работу функции \textbf{соntract}}).

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i11)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
%,ichr2$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i11 Подставляет в ковариантный тензор кривизны явные выражения для символов Кристоффеля.

\textbf{ichr2} --- Cимволы Кристоффеля второго рода $ichr2_{ij}^k=g^{ks}(g_{is,j}+g_{js,i}-g_{ij,s})/2$, где запятой обозначена частная производная $g_{is,j}=\partial g_{is}/ \partial x^j$.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i12)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(expand(%)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i12,14,18 то же, что и \%i10 для \%i11.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i13)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
canform(%)$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i13 Упрощает выражение, сворачивая по немым индексам.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i14)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(expand(%)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i15)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
components(gg([a,b],[]),kdels([a,b],[u,v])*g([u,v],[])/2);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i15 Присваивает компонентам метрического тензора \textbf{gg} половину значения $\delta_{a,b}^{u,v}
\cdot g_{u,v}$, где $\delta$ --- симметричная свёртка с символами Кронекера: $\delta_{a,b}^{u,v}=\delta_{a}^{u}\delta_{b}^v-\delta_{a}^{v}\delta_{b}^u $.
(\textit{Симметризует метрический тензор}.)


\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i16)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
components(gg([],[a,b]),kdels([u,v],[a,b])*g([],[u,v])/2);
\end{verbatim}}
\end{minipage}


\%i16 То же с верхними индексами.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i17)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
%th(4),gg$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i17  Подставляет в выражение \%i14 метрический тензор.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i18)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(expand(%)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}


\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i19)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(expand(%)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i19 Упрощает.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i20)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
imetric(g);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i20 Объявляет тензор $g$ метрикой.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i21)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(expand(%th(2))))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i22)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
remcomps(R);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i22 Очищает компоненты \textbf{R}.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i23)
\end{verbatim}}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
 components(R([a,b,c,d],[]),%th(2));
\end{verbatim}}
\end{minipage}
 
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i24)
\end{verbatim}}
\end{minipage} 
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
g([],[a,b])*R([a,b,c,d])*g([],[c,d])$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

 \%i24 Cтроит скалярную кривизну $g^{ab}R_{abcd}g^{cd}$ и упрощает. %(\textcolor{red}{Разве не должно быть $g^{bd}R_{abcd} g^{ac}$ ?})

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i25)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(canform(%)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}


\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i26)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
contract(rename(canform(%)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i27)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
components(R([],[]),%);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o27) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i28)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
decsym(g,2,0,[sym(all)],[]);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i28 Объявляет симметрию для 2х ковариантных координат тензора g  ($g_{ab}=g_{ba}$).

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i29)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
decsym(g,0,2,[],[sym(all)]);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i29 Объявляет симметрию для 2х контрвариантных координат тензора g  ($g^{ab}=g^{ba}$).

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i30)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ishow(1/(16*%pi*G)*((2*L+'R([],[])))*sqrt(-determinant(g)))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}


\%i30 Записывает лагранжиан (показывает результат). \textit{В данном случае под $L$ понимается $\Lambda$-член (при выводе потенциала Шварцшильда, впрочем, он далее полагается равным нулю).}

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i31)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
L0:%,R$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i31 Подставляет в лагранжиан значение компонент скалярной кривизны.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i32)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
canform(contract(canform(rename(contract(expand(diff(L0,g([],[m,n]))-
    idiff(diff(L0,g([],[m,n],k)),k)+idiff(rename(idiff(contract(
    diff(L0,g([],[m,n],k,l))),k),1000),l)))))))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i32 Вычисляет следующее выражение:
$$\frac{\partial L}{\partial g^{\mu\nu}}-\frac{\partial}{\partial x^{k}}\frac{\partial L}{\partial g^{\mu\nu}_{,k}}+\frac{\partial^2}{\partial x^l\partial x^{k}}\frac{\partial L}{\partial g^{\mu\nu}_{,k,l}}. $$
 что соответствует 10 уравнениям, которые были впервые получены Гильбертом на основе вариационного принципа \eqref{e3}.


\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(\% i33)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ishow(e([m,n],[])=canform(%*16*%pi/sqrt(-determinant(g))))$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

 \% i33 Присваивает тензору $e_{\mu\nu}$ значение предыдущего выражения, умноженного на $16\pi\sqrt{-\text{det}(g)}$, предварительно его упростив с помощью функции \textbf{canform}. Показывает результат (\textbf{ishow}).
 
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i34)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
EQ:ic_convert(%)$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i34 Присваивает EQ предыдущее выражение, предварительно преобразовав его в выражение, понятное пакету ctensor (т.е. из индексного выражения в компонентное).

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i35)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ct_coords:[t,r,u,v];
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i35 Переопределяет координаты в виде t,r,u,v (под $u$ и $v$ понимаются координаты $\theta$ и $\varphi$ ).

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i36)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
lg:ident(4);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i36 Определяет метрический тензор в виде единичной матрицы. %(лишнее действие?)

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i37)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
lg[1,1]:B;
lg[2,2]:-A;
lg[3,3]:-r^2;
lg[4,4]:-r^2*sin(u)^2;
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i37 Присваивает компонентам метрики следующие значения:
$g_{11}=B$, $g_{22}=-A$, $g_{3,3}=-r^2$, $g_{4,4}=-r^2\sin{u}^2$.



\textit{(Будем искать метрику в виде $ds^2=B dt^2-A dr^2-r^2 d\theta^2-r^2 \sin^2 \theta d \varphi^2$, где $A$ и $B$ функции только координаты $r$.} % Как следует из уравнений Энштейна на которые накладывается дополнительное условие: $A\cdot B=1$.  

\textit{Метрику можно также искать в виде (см., например, \cite{Kokarev})
\begin{equation}\label{K}
ds^2=\text{e}^{2\nu} dt^2- \text{e} ^{2\lambda} dr^2- \text{e}^{2\mu} (d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2),
\end{equation}
\noindent где $\nu,\lambda$ и $\mu$ функции только одной координаты $r$. Очевидно, в этом случае $\mu=\text{ln}\,r$. Коэфициенты "2" выбраны для удобства дальнейших вычислений (с  тем же успехом можно бы было искать решение в виде   $ds^2=\text{e}^{\nu}dt^2-\text{e}^{\lambda}dr^2-r^2 d\Omega^2$, где $d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2$). Ковариатные/смешанные компоненты тензора Риччи и тензора Эйнштейна можно получить и вывести на экран в wxMaxima  с помощью функций \textbf{ricci(true)/uricci(true)} и \textbf{leinstein(true)/einstein(true)} после того, как задана матрица метрического тензора \textbf{lg} (cм, в качестве примера Приложение). }




\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i41)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
kill(dependencies);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i41 Стирает из памяти функциональные зависимости.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i42)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
dependencies(A(r),B(r));
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i42 Определяет A и B как функции координаты r.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i43)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
cmetric();
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i43 Рассчитывает обратную матрицу для метрики и подготавливает пакет ctensor для дальнейших вычислений.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i44)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
christof(false);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i44 Вычисляет символы Кристоффеля (чтобы не загромождать вычисления, не выводит их на экран: \textbf{false}). 

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i45)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
e:zeromatrix(4,4);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i45 Определяет $e$ как нулевую матрицу \mbox{$4\times 4$}. %(обнуляет значения, лишнее действие?)

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i46)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ev(EQ);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\% i46 Вычисляет значения тензора $е$ (выражение EQ)с учётом вышеопределенной метрики.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i47)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
E:expand(radcan(ug.e));
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\% i47 Присваивает E произведение матриц \textbf{ug} (обратная метрическая матрица) и \textbf{e} (предыдущее выражение), предварительно его упростив. Функция \textbf{radcan} упрощает выражение, содержащее логарифмы, экспоненты и радикалы, приводя его к каноническому виду.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i48)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
exp:findde(E,2);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i48 Присваивает \textbf{exp} (exp --- название выражения) массив дифференциальных уравнений, получаемых из предыдущей матрицы \mbox{$4\times 4$}.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i49)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
solve(ode2(exp[1],A,r),A);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i49 Решает обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующее первому элементу массива \textbf{exp}, находя A как функцию $r$: $A(r)$.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i50)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
%,%c=-2*M;
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i50 Подставляет в предыдущее выражение значение константы, равное $2M$. %(лишнее действие?)
  \textit{Поскольку любая новая теория, претендующая на роль общей, должна включать в себя как предельные случаи уже существующие проверенные теории, из ОТО с необходимостью следуют уравнения Ньютона: в пределе $r\to \infty$ должно выполняться:
   \begin{equation}\label{Newton}
  g_{00}=1-\frac{2MG}{c^2 r},
  \end{equation} где второе слагаемое соответствует ньютоновскому потенциалу. В естественной системе единиц, гравитационный радиус, $2MG/c^2$, равен $2M$.}  

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i51)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
a:%[1],%c=-2*M;
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i51 Присваивает функции А решение с учётом константы (в выражение на шаге назад подставляет значение константы).

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i52)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ode2(ev(exp[2],a),B,r);
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i52 Решает второе обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое уже подставлено значение функции A, относительно функции B(r).

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i53)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
b:ev(%,%c=rhs(solve(rhs(%)*rhs(a)=1,%c)[1]));
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i53 Находит вторую константу из условия $A\cdot B=1$. Подставляет полученное значение в выражение для  B, присваивает функции B решение с учётом константы.

\textit{ На наш взгляд, здесь содержится некоторая непоследовательность. Условие $A\cdot B=1$ следует непосредственно из уравнений Эйнштейна (это уравнение, точнее даже более общее, $\text{ln}\,A(t,r)+\text{ln}\,B(t,r)=f(t)$, получается при сложении первых двух уравнений Эйнштейна). Произвольную функцию времени $f(t)$ выбирают в виде ноля, пользуясь свободой преобразования времени вида $t=f(t')$. 
Условие $A\cdot B=1$ в случае выбора метрики в виде \eqref{K} запишется, очевидно, в виде $\nu(r)=-\lambda(r)$. 
Впрочем, вторую константу \%i53 мы можем выбрать как раз опираясь на вышеописанную свободу преобразований времени.}



\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i54)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
factor(ev(ev(exp[3],a,b),diff));
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i54 Упрощает третье дифференциальное уравнение, в которое подставлены А и B как решения предыдущих дифференциальных уравнений. Убеждаемся, что третье уравнение при этом превращается в тождество $0=0$.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i55)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
lg:ev(lg,a,b),L=0$
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i55 Подставляет в метрический тензор полученные значения функций $A$ и $B$, а $-\Lambda$- член полагает равным нулю.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i56)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ug:invert(lg);
\end{verbatim}}
\end{minipage} 

\%i56 Находит обратную матрицу.

\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i57)
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
block([title: "Schwarzschild Potential for Mass M=2",M:2.],
    wxplot3d([r*cos(th),r*sin(th),1-ug[1,1]],[r,5.,50.],[th,-%pi,%pi],
    ['grid,20,30],['z,-2,0],[psfile],['legend,title]));
\end{verbatim}}
\end{minipage}

\%i57 Заголовок: "Потенциал Шварцшильда для массы $M$=2. Строит в блоке 3хмерный график $x=r\cos(\theta)$, $y=r\sin(\theta)$, $z=1-g^{-1}_{11}$. $r$ меняется от 5 до 50, $\theta$ от $-\pi$ до  $\pi$, z от -2 до 0, масса $M=2$. Формируется файл ps, легенда и название показаны на графике.  

\textit{После того как мы нашли метрику, можно записать выражение, аналогичное уравнению \eqref{Newton}, при этом второе слагаемое будет теперь соответствовать потенциалу Шварцшильда.}


\section*{\textbf{Приложение.} Пример использования пакета wxMaxima
 для иллюстрации\\ вывода метрик
 Шварцшильда и\\ Рейсcнера-Нордстрёма}

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i1) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
kill(all);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o0) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i1) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
load(ctensor);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o1) }
C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0/share/maxima/5.30.0/share/tensor/ctensor.mac
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Можно воспользоваться функцией \textbf{csetup}:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i2) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
csetup();
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
%\begin{math}\displaystyle
Enter the dimension of the coordinate system:4;
%\end{math}

%\begin{math}\displaystyle
Do you wish to change the coordinate names?y;
%\end{math}
%\begin{math}\displaystyle

Enter a list containing the names of the coordinates in order[t,r,theta,phi];

%\end{math}\begin{math}\displaystyle
Do you want to

1. Enter a new metric?

2. Enter a metric from a file?

3. Approximate a metric with a Taylor series?
1;

Is the matrix  1. Diagonal  2. Symmetric  3. Antisymmetric  4. GeneralAnswer 1, 2, 3 or 4 :

 1;

 Row 1 Column 1: B;

 Row 2 Column 2: -A;
 
 Row 3 Column 3: $-r^{\wedge}2$;
 
 Row 4 Column 4: $-r^{\wedge}2*sin(theta)^{\wedge}2$;
 
 Matrix entered. Enter functional dependencies with DEPENDS or 'N' if none 
 
 depends([A,B],[r]);
 
 Do you wish to see the metric?y;
 \begin{math}
 \begin{pmatrix}B & 0 & 0 & 0\cr 0 & -A & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o2) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Эти команды можно ввести и вручную:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i3) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
kill(all);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o0) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i1) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
load(ctensor);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o1) }
C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0/share/maxima/5.30.0/share/tensor/ctensor.mac
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i2) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ct_coords:[t,r,theta,phi];
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o2) }
[t,r,\theta,\phi]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i3) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
depends([A,B],[r]);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o3) }
[\mathrm{A}\left( r\right) ,\mathrm{B}\left( r\right) ]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i4) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
lg:matrix([B,0,0,0],[0,-A,0,0],[0,0,-r^2,0],[0,0,0,-r^2*sin(theta)^2]);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o4) }
\begin{pmatrix}B & 0 & 0 & 0\cr 0 & -A & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i5) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
cmetric(true);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
Do you wish to see the metric inverse?y;
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t5) }
\begin{pmatrix}\frac{1}{B} & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{1}{A} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}\end{pmatrix}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o5) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Символы Кристоффеля:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i6) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
christof(mcs);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t6) }
{mcs}_{1,1,2}=\frac{\frac{d}{d\,r}\,B}{2\,A}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t7) }
{mcs}_{1,2,1}=\frac{\frac{d}{d\,r}\,B}{2\,B}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t8) }
{mcs}_{2,2,2}=\frac{\frac{d}{d\,r}\,A}{2\,A}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t9) }
{mcs}_{2,3,3}=\frac{1}{r}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t10) }
{mcs}_{2,4,4}=\frac{1}{r}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t11) }
{mcs}_{3,3,2}=-\frac{r}{A}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t12) }
{mcs}_{3,4,4}=\frac{\mathrm{cos}\left( \theta\right) }{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t13) }
{mcs}_{4,4,2}=-\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{A}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t14) }
{mcs}_{4,4,3}=-\mathrm{cos}\left( \theta\right) \,\mathrm{sin}\left( \theta\right) 
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o14) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Ковариантные компоненты тензора Риччи:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i15) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ricci(true);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t15) }
{ric}_{1,1}=\frac{\frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B}{2\,A}-\frac{{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}}{4\,A\,B}-\frac{\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{4\,{A}^{2}}+\frac{\frac{d}{d\,r}\,B}{r\,A}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t16) }
{ric}_{2,2}=-\frac{\frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B}{2\,B}+\frac{{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}}{4\,{B}^{2}}+\frac{\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{4\,A\,B}+\frac{\frac{d}{d\,r}\,A}{r\,A}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t17) }
{ric}_{3,3}=-\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{2\,A\,B}+\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) }{2\,{A}^{2}}-\frac{1}{A}+1
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t18) }
{ric}_{4,4}=-\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{2\,A\,B}+\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) }{2\,{A}^{2}}-\frac{{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{A}+{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o18) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Смешанные компоненты тензора Риччи:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i19) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
uricci(true);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t19) }
{uric}_{1,1}=\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 4\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t20) }
{uric}_{2,2}=\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -4\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}}{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t21) }
{uric}_{3,3}=\frac{r\,A\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( -r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) -2\,{A}^{2}+2\,A\right) \,B}{2\,{r}^{2}\,{A}^{2}\,B}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t22) }
{uric}_{4,4}=\frac{r\,A\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( -r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) -2\,{A}^{2}+2\,A\right) \,B}{2\,{r}^{2}\,{A}^{2}\,B}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o22) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Ковариантные компоненты тензора Эйнштейна:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i23) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
leinstein(true);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t23) }
{lein}_{1,1}=\frac{\left( r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) +{A}^{2}-A\right) \,B}{{r}^{2}\,{A}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t24) }
{lein}_{2,2}=\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( 1-A\right) \,B}{{r}^{2}\,B}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t25) }
{lein}_{3,3}=\frac{r\,\left( 2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}\right) }{4\,{A}^{2}\,{B}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t26) }
{lein}_{4,4}=\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( 2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}\right) }{4\,{A}^{2}\,{B}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o26) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Смешанные компоненты тензора Эйнштейна:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i27) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
einstein(true);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t27) }
{ein}_{1,1}=\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) +{A}^{2}-A}{{r}^{2}\,{A}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t28) }
{ein}_{2,2}=-\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( 1-A\right) \,B}{{r}^{2}\,A\,B}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t29) }
{ein}_{3,3}=-\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}}{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t30) }
{ein}_{4,4}=-\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}}{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}}
\end{math}

\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o30) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Получим статичное сферически-симметричное решение уравнения Эйнштейна без заряда.

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i31) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ode2(ev(lein[1,1],theta=%pi/2),A,r);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o31) }
\mathrm{log}\left( A\right) -\mathrm{log}\left( A-1\right) =\mathrm{log}\left( r\right) +\%c
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i32) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
logcontract(%);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o32) }
\mathrm{log}\left( \frac{A}{A-1}\right) =\mathrm{log}\left( r\right) +\%c
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i33) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
solve(%,A);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o33) }
[A=\frac{{e}^{\%c}\,r}{{e}^{\%c}\,r-1}]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

(будем пользоваться граничными условиями для определения констант, 
при этом для удобства вычислений G=c=1)

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i34) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
%,%c=-log(2*M);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o34) }
[A=\frac{r}{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M}]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i35) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
A:%[1],%c=-log(2*M);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o35) }
A=\frac{r}{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i36) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ode2(ev(lein[2,2],A),B,r);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o36) }
B=\%c\,{e}^{-2\,\left( \frac{\mathrm{log}\left( r\right) }{2\,M}-\frac{\mathrm{log}\left( r-2\,M\right) }{2\,M}\right) \,M}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i37) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
logcontract(%);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o37) }
B=-\frac{\%c\,\left( 2\,M-r\right) }{r}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

(Используем граничные условия AB=1, откуда найдём константу \%с. Затем полученное значение
подставим в правую часть уравнения выше, чтобы получить функцию В)

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i38) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
B:ev(%,%c=rhs(solve(rhs(%)*rhs(A)=1,%c)[1]));
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o38) }
B=-\frac{2\,M-r}{r}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Проверим, удовлетворяют ли полученные функции А и В третьему уравнению:

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i39) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
factor(ev(ev(lein[3,3],A,B),diff));
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o39) }
0
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Таким образом, метрический тензор Шварцшильда (1916)):

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i40) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
lg:ev(lg,A,B);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o40) }
\begin{pmatrix}-\frac{2\,M-r}{r} & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{r}{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i41) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ug:invert(lg);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o41) }
\begin{pmatrix}-\frac{r}{2\,M-r} & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M}{r} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}\end{pmatrix}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


%\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% INPUT:
%\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
%\begin{verbatim}
%(%i42) 
%\end{verbatim}}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
%\begin{verbatim}
%wxplot3d([r*cos(th),r*sin(th),1-ev(ug[1,1],M:2)],[r,5,50],[th,-%pi,%pi]);
%\end{verbatim}}
%\end{minipage}
%%%% OUTPUT:
%\begin{math}\displaystyle
%\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t42) }
%\includegraphics[width=9cm]{Пример_img/Пример_1.png}
%\end{math}
%
%\begin{math}\displaystyle
%\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o42) }
%
%\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%%

Выведем теперь метрику с учётом заряда. Будем считать,
 что тензор энергии-импульса уже известен.
% (см. С.И. Глазырин, "Вывод метрики Керра-Ньюмана")

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i1) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
kill(all);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o0) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i1) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
load(ctensor);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o1) }
C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0/share/maxima/5.30.0/share/tensor/ctensor.mac
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i2) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ct_coords:[t,r,theta,phi];
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o2) }
[t,r,\theta,\phi]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i3) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
depends([A,B],[r]);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o3) }
[\mathrm{A}\left( r\right) ,\mathrm{B}\left( r\right) ]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i4) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
lg:matrix([B,0,0,0],[0,-A,0,0],[0,0,-r^2,0],[0,0,0,-r^2*sin(theta)^2]);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o4) }
\begin{pmatrix}B & 0 & 0 & 0\cr 0 & -A & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i5) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
cmetric();
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o5) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i6) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
christof(false);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o6) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i7) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
uricci(false);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o7) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i8) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
einstein(false);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o8) }
done
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i9) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
solve(ode2(ein[1,1]=q^2/r^4,A,r),A);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o9) }
[A=\frac{{r}^{2}}{{r}^{2}-\%c\,r+{q}^{2}}]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i10) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
%,%c=2*M;
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o10) }
[A=\frac{{r}^{2}}{-2\,r\,M+{r}^{2}+{q}^{2}}]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i11) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
A:%[1],%c=2*M;
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o11) }
A=\frac{{r}^{2}}{-2\,r\,M+{r}^{2}+{q}^{2}}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i12) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
solve(ode2(ev(ein[2,2],A)=q^2/r^4,B,r),B);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o12) }
[B=-\frac{2\,\%c\,r\,M-\%c\,{r}^{2}-\%c\,{q}^{2}}{{r}^{2}}]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

(опять же из граничных условий)

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i13) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
%,%c=1;
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o13) }
[B=-\frac{2\,r\,M-{r}^{2}-{q}^{2}}{{r}^{2}}]
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i14) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
B:%[1],%c=1;
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o14) }
B=-\frac{2\,r\,M-{r}^{2}-{q}^{2}}{{r}^{2}}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i15) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
expand(B);
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o15) }
B=-\frac{2\,M}{r}+\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}+1
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i16) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
factor(ev(ev(ein[3,3]+q^2/r^4,A,B),diff));
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o16) }
0
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%

Метрика Рейсснера (1916)-Нордстрёма (1918):

\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i17) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
lg:expand(ev(lg,A,B));
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o17) }
\begin{pmatrix}-\frac{2\,M}{r}+\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}+1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{{r}^{2}}{-2\,r\,M+{r}^{2}+{q}^{2}} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%
%%% INPUT:
\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf
\begin{verbatim}
(%i18) 
\end{verbatim}}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue}
\begin{verbatim}
ug:expand(invert(lg));
\end{verbatim}}
\end{minipage}
%%% OUTPUT:
\begin{math}\displaystyle
\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o18) }
\begin{pmatrix}\frac{1}{-\frac{2\,M}{r}+\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}+1} & 0 & 0 & 0\cr 0 & \frac{2\,M}{r}-\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}-1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}\end{pmatrix}
\end{math}
%%%%%%%%%%%%%%%




 
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Maxima1} maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima\_27.html  \mbox{[дата обращения: 10.07.14]}
\bibitem{Maxima2} maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima\_26.html  \mbox{[дата обращения: 10.07.14]}
\bibitem{Maxima3} maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima\_25.html  \mbox{[дата обращения: 10.07.14]}

\bibitem{Toth2} www.elegio.it/max/demo01/einhil.dem.txt \mbox{[дата обращения: 10.07.14]}

\bibitem{Toth} http://www.vttoth.com/CMS/projects/61-the-maxima-computer-algebra-system \mbox{[дата обращения: 10.07.14] }



\bibitem{Winterberg} Winterberg\,F., Z. Naturforsch, \textbf{59 a}, p.715, 2004

\bibitem{Logunov} Логунов А.А., Мествиришвили М.А., Петров В.А., УФН, 2004, Т.~174, №6

\bibitem{Hilbert} D.Hilbert. die Grundlagen der Physik (Nachr.Ges.Wiss. Gottingen), \textbf{3}, 395 (1915); Перевод на русский см. в сборнике <<Альберт \mbox{Эйнштейн} и теория гравитации>> (М.:Мир, 1979)

\bibitem{Landau} Ландау~Л.\,Д., Лифшиц~Е.\,М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. в 10 т. Т.II Теория поля. --- М.: Наука, 1988, 512 стр.

\bibitem{Hriplovich} Хриплович~И.\,Б., Общая теория относительности. --- Ижевск: НИЦ <<Регулярная и хаотическая динамика>>, 2001, 120 стр.
\bibitem{Kokarev} Кокарев~С.\,С. Введение в общую теорию относительности. --- Ярославль: ЯрГУ, 2010, 368 стр.


\end{thebibliography}

\end{document}
