\documentclass{article} %% Created with wxMaxima 11.08.0 \setlength{\parskip}{\medskipamount} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{graphicx} \usepackage{color} \usepackage{amsmath} \usepackage[russian]{babel} \definecolor{labelcolor}{RGB}{100,0,0} \title{{\Large {\sc Вывод метрики Шварцшильда из вариационного принципа Гильберта с помощью пакета wxMaxima}} \author{Шитова~А.\,М.}} \begin{document} \maketitle \abstract{ В данной статье приведено подробное описание алгоритма \mbox{Виктора} Тота (Victor Toth) по выводу метрики Шварцшильда на основе варианционного принципа Гильберта. Приведены физические основания данного вывода.} \setcounter{section}{0} \setcounter{subsection}{0} \setcounter{figure}{0} %Example of using Maxima for derivation %of Schwartzschild metric from Hilbert Variational principle. \section{Пакеты сtensor и itensor в WxMaxima} Для тензорных вычислений в Maxima --- открытой компьютерной алгебраической системе --- существуют три пакета: \textbf{atensor}, \textbf{ctensor} и \textbf{itensor}. Пакет \textbf{atensor} \cite{Maxima1} используется для алгебраических вычислений в различных алгебрах (например, в алгебре кватернионов). Два других пакета предназначены для символьных тензорных преобразований двух различных типов: по компонентам (пакет \textbf{ctensor} \cite{Maxima2}) и с помощью индексов (пакет \textbf{itensor} \cite{Maxima3}). В первом случае тензоры представлены как массивы или матрицы, тогда как во втором под тензорами понимаются функции их ковариантных, контрвариантных и производных индексов. Таким образом, в пакете \textbf{ctensor} такие тензорные операции как свёртка или ковариантное дифференцирование проивзодятся непосредственно с помощью компонент, а в пакете \textbf{itensor} --- с помощью индексов. Естественно, каждый из этих двух подходов имеет свои достоинства и недостатки. Индексные выражения, полученные с помощью пакета \textbf{itensor} могут быть переведены в координатное представление пакета \textbf{ctensor} с помощью функции \textbf{ic\_convert}. Пакет \textbf{itensor} позволяет проводить вычисления в формализме Ла\-гранжа, а именно получать уравнения Лагранжа-Эйлера в индексной форме. Пример использования пакета \textbf{itensor} --- программа Виктора Тота \cite{Toth2} (см. также \cite{Toth}) для получения с помощью действия Эйнштейна-Гильберта тензора Эйнштейна (уравнений Фридмана) и сферически-симметричного статичного решения Шварцшильда. Хотя пример сопровождается поясняющими комментариями, на наш взгляд, неискушенному читателю следует более подробно пояснить основные моменты, как с точки зрения физики, так и с точки зрения программирования. В качестве примера использования пакета \textbf{ctensor} приведём также текст программы для вывода метрики Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема непосредственно из уравнений Эйнштейна (см. Приложение). Отметим, что для студентов методически более полезно проделать весь вывод, в том числе получение компонент тензора Эйнштейна, <<руками>>, так как, эти метрики --- немногочисленные примеры точных решений. \section{Вариационный принцип Гильберта} Известно, что Гильберт получил уравнения гравитации раньше, чем Эйнштейн опубликовал свою статью. Тем не менее, в начале \mbox{XXI} века появились работы, стремившиеся опровергнуть устоявшуюся точку зрения на историю этого фундаментального открытия. Однако, как было подробно показано в статьях \cite{Winterberg, Logunov}, альтернативного мнения на этот счет быть не может. История ясно говорит, что зарождение ОТО --- плод работы трёх людей: Эйнштейна, Гроссмана и Гильберта, и умаливать достижения кого-то из них некорректно и неэтично. Хотя определенные тайны всё же остались, в частности, неизвестным была вырезана часть записей из гранок статьи Гильберта. Оставим эту проблему историкам науки и перейдём непосредственно к рассуждениям Гильберта. Первая аксиома Гильберта \cite{Hilbert} формулируется следующим образом: <<Закон физического события определяется мировой функцией Н (\textit{лагранжианом}), аргументы которой таковы: \begin{equation} g_{\mu\nu},g_{\mu\nu,l}=\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{l}},g_{\mu\nu,lk}=\frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^l\partial x^k},q_s,q_{s,l}=\frac{\partial q_s}{\partial x^l},(l,m,k=1,2,3,4), \end{equation} причем вариация интеграла $\int H \sqrt{|g|}dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 $ обращается в нуль для каждого из 14 потенциалов $g_{\mu\nu}$ и $q_s$>>. Под $x_s$ понимаются наиболее общие пространственно-временные координаты (у Гильберта $w$), $g_{\mu\nu}$ --- введенные Эйнштейном гравитационные потенциалы, $q_s$ --- электродинамическтие потенциалы. Можно аналогично использовать и аргументы с контрвариантными индексами. % Согласно второй аксиоме Гильберта, $H$ инвариантна относительно произвольных преобразований мирового параметра $w_s$(расшифровать ранее) Для того чтобы в уравнения гравитации входили лишь вторые производные потенциалов $g^{\mu\nu}\!\!$, функция $H$ должна иметь вид $H=R+L$, где $R=R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$ --- скалярная кривизна четырехмерного многообразия ($R_{\mu\nu}$ --- тензор Римана), а $L$ --- функция только переменных $g^{\mu\nu}$, $g_{,l}^{\mu\nu}$, $q_s$ и $q_{sk}$. Для простоты Гильберт также предположил, что $L$ не зависит от $g_{,l}^{\mu\nu}$. При вычислении вариации действия $\delta S=\int H \sqrt{g}d^4 x$ все члены, связанные с изменением $q$, необходимо занулить \cite{Landau} (что соответствует введению уравнений движения). Из первой аксиомы Гильберта при варьировании по остальным 10 гравитационным потенциалам $g^{\mu\nu}$, получаем: \begin{equation} \delta S=\int\left(\frac{\partial \sqrt{-g}H}{\partial g^{ik}} \delta g^{ik}+\frac{\partial \sqrt{-g}H}{\partial g^{ik}_{,l}}\delta \frac{\partial g^{ik}}{\partial x^l}+\frac{\partial \sqrt{-g}H}{\partial g^{ik}_{,lm}}\delta g^{ik}_{,lm}\right), \end{equation} откуда по теореме Гаусса%\footnote{об избыточности теоремы Стокса для определения тензора Римана см. \cite{Blinnikov}} , полагая на границах интегрирования \mbox{$\delta g^{ik}\!\!=0$}, следуют 10 дифференциальных уравнений Лагранжа, которые Гильберт назвал <<основными уравнениями гравитации>>\cite{Hilbert}: \begin{equation}\label{e3} \frac{\partial \sqrt{g}H}{\partial g^{\mu\nu}}-\sum\limits_k\frac{\partial}{\partial w_k}\frac{\partial\sqrt{g}H}{\partial g_{,k}^{\mu\nu}}+ \sum_{k,l}\frac{\partial^2}{\partial w_k \partial w_l}\frac{\partial \sqrt{g}H}{\partial g_{,kl}^{\mu\nu}}=0,\quad(\mu,\nu=1,2,3,4). \end{equation} % \end{document} Легко проверить, что вариационный принцип Гильберта приводит к уравнениями Эйнштена. Действительно, вычислим вариацию действия $\delta \int R\sqrt{-g} d^4x$: %Действительно, выберем лагранжиан в виде $H=R+\Lambda$, где $\Lambda$ --- $\Lambda$-член. Тогда вариация действия $\ \begin{eqnarray}\label{e4} \delta S=\delta \int d^4 x\sqrt{-g}R=\delta\int d^4 x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=\nonumber \\ =\int d^4 x\sqrt{-g}\left(\delta g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}+\frac{\delta \sqrt{-g}}{\sqrt{-g}}R+g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}\right). \end{eqnarray} Рассмотрим вариацию $\delta \sqrt{-g}$. Прежде всего, докажем тождество: $\delta \text{det} A=\delta A \text{Sp}(A^{-1}\delta A)$, где $A$ --- произвольная матрица. Для этого рассмотрим вариацию логарифма (см., например, \cite{Hriplovich,Kokarev}): $\delta\, \text{ln}\, \text{det} A$: \begin{equation} \delta\, \text{ln}\, \text{det} A =\text{ln}\,\text{det}(I+A^{-1}\delta A)=\text{ln}(1+\text{Sp}A^{-1}\delta A)=\text{Sp} A^{-1}\delta A. \end{equation} Далее, варьируя единичную матрицу, <<хитро записанную>> в виде $g_{\alpha\beta}g^{\alpha\sigma}$, получаем: $\delta g_{\alpha\beta}g^{\alpha\sigma}+g_{\alpha\beta}\delta g^{\alpha\sigma}=0$ (аналогично можно показать, что $\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\delta g_{\alpha\beta}$). Следовательно, $\delta g_{\alpha\beta} g^{\alpha\sigma}=-g_{\alpha\beta}\delta g^{\alpha\sigma}$. Таким образом, \begin{equation} \delta\sqrt{-g}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g g^{\alpha\beta}\delta g_{\alpha\beta}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\alpha\beta}\delta g^{\alpha\beta}. \end{equation} Третье слагаемое в уравнении \eqref{e4} не даст вклада в конечные уравнения, так как сводится к интегралу от полной дивергенции (см., например, \cite{Landau, Hriplovich}). % пояснить подробнее? Неясно всё-таки почему теорема Стокса избыточна Таким образом, \begin{equation}\label{eq5} \delta S=\delta \int d^4 x\sqrt{-g}R=\int d^4 x\sqrt{-g}\left(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} Rg_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}. \end{equation} В скобках образовался тензор Эйнштейна. Из принципа наименьшего действия для суммы вариаций $\delta S+\delta S_{m}$, где $S_m$ -- действие материи, можно получить уравнения Эйнштейна в их традиционной форме. В пустом пространстве, как следует из уравнения \eqref{eq5}, ввиду произвольности вариации $\delta g^{\mu\nu}$, $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2} Rg_{\mu\nu}=0$. %\section{Вывод метрики Шварцшильда} \section{Алгоритм Виктора Тота для вывода метрики Шварцшильда из вариационного принципа Гильберта} Решение Шварцшильда --- исторически первое точное решение уравнения Эйнштейна --- описывает геометрию пространства-времени вокруг незаряженного сферически-симметричного источника. Метрику Шварцшильда можно вывести прямо из вариационного принципа Гильберта и не переходя к уравнениям Эйнштейна. Разберём непосредственно действия алгоритма \cite{Toth}. Поясним пошагово, что делает каждая из описанных процедур. \textit{Для начала необходимо подключить пакеты для тензорных вычислений \textbf{ctensor} и \textbf{itensor}.} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i1) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} if get('ctensor,'version)=false then load(ctensor); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i1 Подключает пакет ctensor (если ещё не подключен) для тензорных вычислений \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i2) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} if get('itensor,'version)=false then load(itensor); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i2 Подключает пакет itensor (если ещё не подключен) для символьных вычислений с тензорными индексами. \textit{Далее мы должны сконструировать тензор Римана. Для этого \mbox{В.~Тот} определяет вспомогательный симметричный тензор.} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i3) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} remsym(g,2,0); remsym(g,0,2); remsym(gg,2,0); remsym(gg,0,2); remcomps(gg); imetric(gg); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i3 Убирает все симметрии из тензоров \textbf{g} и \textbf{gg} с 2мя ковариантными индексами; аналогично с 2мя контрвариантными. Очищает компонентные значения тензора \textbf{gg}. Объявляет тензор \textbf{gg} метрикой. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i9) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} icurvature([a,b,c],[e])*gg([d,e],[])$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i9 Умножает тензор кривизны (Римана) с компонентами $R_{abc}^{e}$ на метрический тензор $gg_{de}$. (\textit{Осуществляем переход от смешанных компонент тензора кривизны к ковариантным}.) \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i10) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(expand(%)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i10 Сворачивает по повторяющимся индексам $e$ предыдущее выражение, предварительно осуществив упрощение и заменив немые индексы (\textit{Функция \textbf{expand} «улучшает» работу функции \textbf{соntract}}). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i11) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} %,ichr2$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i11 Подставляет в ковариантный тензор кривизны явные выражения для символов Кристоффеля. \textbf{ichr2} --- Cимволы Кристоффеля второго рода $ichr2_{ij}^k=g^{ks}(g_{is,j}+g_{js,i}-g_{ij,s})/2$, где запятой обозначена частная производная $g_{is,j}=\partial g_{is}/ \partial x^j$. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i12) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(expand(%)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i12,14,18 то же, что и \%i10 для \%i11. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i13) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} canform(%)$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i13 Упрощает выражение, сворачивая по немым индексам. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i14) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(expand(%)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i15) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} components(gg([a,b],[]),kdels([a,b],[u,v])*g([u,v],[])/2); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i15 Присваивает компонентам метрического тензора \textbf{gg} половину значения $\delta_{a,b}^{u,v} \cdot g_{u,v}$, где $\delta$ --- симметричная свёртка с символами Кронекера: $\delta_{a,b}^{u,v}=\delta_{a}^{u}\delta_{b}^v-\delta_{a}^{v}\delta_{b}^u $. (\textit{Симметризует метрический тензор}.) \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i16) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} components(gg([],[a,b]),kdels([u,v],[a,b])*g([],[u,v])/2); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i16 То же с верхними индексами. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i17) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} %th(4),gg$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i17 Подставляет в выражение \%i14 метрический тензор. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i18) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(expand(%)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i19) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(expand(%)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i19 Упрощает. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i20) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} imetric(g); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i20 Объявляет тензор $g$ метрикой. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i21) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(expand(%th(2))))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i22) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} remcomps(R); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i22 Очищает компоненты \textbf{R}. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i23) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} components(R([a,b,c,d],[]),%th(2)); \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i24) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} g([],[a,b])*R([a,b,c,d])*g([],[c,d])$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i24 Cтроит скалярную кривизну $g^{ab}R_{abcd}g^{cd}$ и упрощает. %(\textcolor{red}{Разве не должно быть $g^{bd}R_{abcd} g^{ac}$ ?}) \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i25) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(canform(%)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i26) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} contract(rename(canform(%)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i27) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} components(R([],[]),%); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o27) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i28) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} decsym(g,2,0,[sym(all)],[]); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i28 Объявляет симметрию для 2х ковариантных координат тензора g ($g_{ab}=g_{ba}$). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i29) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} decsym(g,0,2,[],[sym(all)]); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i29 Объявляет симметрию для 2х контрвариантных координат тензора g ($g^{ab}=g^{ba}$). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i30) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ishow(1/(16*%pi*G)*((2*L+'R([],[])))*sqrt(-determinant(g)))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i30 Записывает лагранжиан (показывает результат). \textit{В данном случае под $L$ понимается $\Lambda$-член (при выводе потенциала Шварцшильда, впрочем, он далее полагается равным нулю).} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i31) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} L0:%,R$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i31 Подставляет в лагранжиан значение компонент скалярной кривизны. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i32) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} canform(contract(canform(rename(contract(expand(diff(L0,g([],[m,n]))- idiff(diff(L0,g([],[m,n],k)),k)+idiff(rename(idiff(contract( diff(L0,g([],[m,n],k,l))),k),1000),l)))))))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i32 Вычисляет следующее выражение: $$\frac{\partial L}{\partial g^{\mu\nu}}-\frac{\partial}{\partial x^{k}}\frac{\partial L}{\partial g^{\mu\nu}_{,k}}+\frac{\partial^2}{\partial x^l\partial x^{k}}\frac{\partial L}{\partial g^{\mu\nu}_{,k,l}}. $$ что соответствует 10 уравнениям, которые были впервые получены Гильбертом на основе вариационного принципа \eqref{e3}. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (\% i33) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ishow(e([m,n],[])=canform(%*16*%pi/sqrt(-determinant(g))))$ \end{verbatim}} \end{minipage} \% i33 Присваивает тензору $e_{\mu\nu}$ значение предыдущего выражения, умноженного на $16\pi\sqrt{-\text{det}(g)}$, предварительно его упростив с помощью функции \textbf{canform}. Показывает результат (\textbf{ishow}). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i34) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} EQ:ic_convert(%)$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i34 Присваивает EQ предыдущее выражение, предварительно преобразовав его в выражение, понятное пакету ctensor (т.е. из индексного выражения в компонентное). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i35) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ct_coords:[t,r,u,v]; \end{verbatim}} \end{minipage} \%i35 Переопределяет координаты в виде t,r,u,v (под $u$ и $v$ понимаются координаты $\theta$ и $\varphi$ ). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i36) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} lg:ident(4); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i36 Определяет метрический тензор в виде единичной матрицы. %(лишнее действие?) \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i37) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} lg[1,1]:B; lg[2,2]:-A; lg[3,3]:-r^2; lg[4,4]:-r^2*sin(u)^2; \end{verbatim}} \end{minipage} \%i37 Присваивает компонентам метрики следующие значения: $g_{11}=B$, $g_{22}=-A$, $g_{3,3}=-r^2$, $g_{4,4}=-r^2\sin{u}^2$. \textit{(Будем искать метрику в виде $ds^2=B dt^2-A dr^2-r^2 d\theta^2-r^2 \sin^2 \theta d \varphi^2$, где $A$ и $B$ функции только координаты $r$.} % Как следует из уравнений Энштейна на которые накладывается дополнительное условие: $A\cdot B=1$. \textit{Метрику можно также искать в виде (см., например, \cite{Kokarev}) \begin{equation}\label{K} ds^2=\text{e}^{2\nu} dt^2- \text{e} ^{2\lambda} dr^2- \text{e}^{2\mu} (d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2), \end{equation} \noindent где $\nu,\lambda$ и $\mu$ функции только одной координаты $r$. Очевидно, в этом случае $\mu=\text{ln}\,r$. Коэфициенты "2" выбраны для удобства дальнейших вычислений (с тем же успехом можно бы было искать решение в виде $ds^2=\text{e}^{\nu}dt^2-\text{e}^{\lambda}dr^2-r^2 d\Omega^2$, где $d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2$). Ковариатные/смешанные компоненты тензора Риччи и тензора Эйнштейна можно получить и вывести на экран в wxMaxima с помощью функций \textbf{ricci(true)/uricci(true)} и \textbf{leinstein(true)/einstein(true)} после того, как задана матрица метрического тензора \textbf{lg} (cм, в качестве примера Приложение). } \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i41) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} kill(dependencies); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i41 Стирает из памяти функциональные зависимости. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i42) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} dependencies(A(r),B(r)); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i42 Определяет A и B как функции координаты r. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i43) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} cmetric(); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i43 Рассчитывает обратную матрицу для метрики и подготавливает пакет ctensor для дальнейших вычислений. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i44) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} christof(false); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i44 Вычисляет символы Кристоффеля (чтобы не загромождать вычисления, не выводит их на экран: \textbf{false}). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i45) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} e:zeromatrix(4,4); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i45 Определяет $e$ как нулевую матрицу \mbox{$4\times 4$}. %(обнуляет значения, лишнее действие?) \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i46) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ev(EQ); \end{verbatim}} \end{minipage} \% i46 Вычисляет значения тензора $е$ (выражение EQ)с учётом вышеопределенной метрики. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i47) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} E:expand(radcan(ug.e)); \end{verbatim}} \end{minipage} \% i47 Присваивает E произведение матриц \textbf{ug} (обратная метрическая матрица) и \textbf{e} (предыдущее выражение), предварительно его упростив. Функция \textbf{radcan} упрощает выражение, содержащее логарифмы, экспоненты и радикалы, приводя его к каноническому виду. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i48) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} exp:findde(E,2); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i48 Присваивает \textbf{exp} (exp --- название выражения) массив дифференциальных уравнений, получаемых из предыдущей матрицы \mbox{$4\times 4$}. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i49) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} solve(ode2(exp[1],A,r),A); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i49 Решает обыкновенное дифференциальное уравнение, соответствующее первому элементу массива \textbf{exp}, находя A как функцию $r$: $A(r)$. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i50) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} %,%c=-2*M; \end{verbatim}} \end{minipage} \%i50 Подставляет в предыдущее выражение значение константы, равное $2M$. %(лишнее действие?) \textit{Поскольку любая новая теория, претендующая на роль общей, должна включать в себя как предельные случаи уже существующие проверенные теории, из ОТО с необходимостью следуют уравнения Ньютона: в пределе $r\to \infty$ должно выполняться: \begin{equation}\label{Newton} g_{00}=1-\frac{2MG}{c^2 r}, \end{equation} где второе слагаемое соответствует ньютоновскому потенциалу. В естественной системе единиц, гравитационный радиус, $2MG/c^2$, равен $2M$.} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i51) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} a:%[1],%c=-2*M; \end{verbatim}} \end{minipage} \%i51 Присваивает функции А решение с учётом константы (в выражение на шаге назад подставляет значение константы). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i52) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ode2(ev(exp[2],a),B,r); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i52 Решает второе обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое уже подставлено значение функции A, относительно функции B(r). \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i53) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} b:ev(%,%c=rhs(solve(rhs(%)*rhs(a)=1,%c)[1])); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i53 Находит вторую константу из условия $A\cdot B=1$. Подставляет полученное значение в выражение для B, присваивает функции B решение с учётом константы. \textit{ На наш взгляд, здесь содержится некоторая непоследовательность. Условие $A\cdot B=1$ следует непосредственно из уравнений Эйнштейна (это уравнение, точнее даже более общее, $\text{ln}\,A(t,r)+\text{ln}\,B(t,r)=f(t)$, получается при сложении первых двух уравнений Эйнштейна). Произвольную функцию времени $f(t)$ выбирают в виде ноля, пользуясь свободой преобразования времени вида $t=f(t')$. Условие $A\cdot B=1$ в случае выбора метрики в виде \eqref{K} запишется, очевидно, в виде $\nu(r)=-\lambda(r)$. Впрочем, вторую константу \%i53 мы можем выбрать как раз опираясь на вышеописанную свободу преобразований времени.} \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i54) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} factor(ev(ev(exp[3],a,b),diff)); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i54 Упрощает третье дифференциальное уравнение, в которое подставлены А и B как решения предыдущих дифференциальных уравнений. Убеждаемся, что третье уравнение при этом превращается в тождество $0=0$. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i55) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} lg:ev(lg,a,b),L=0$ \end{verbatim}} \end{minipage} \%i55 Подставляет в метрический тензор полученные значения функций $A$ и $B$, а $-\Lambda$- член полагает равным нулю. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i56) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ug:invert(lg); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i56 Находит обратную матрицу. \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i57) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} block([title: "Schwarzschild Potential for Mass M=2",M:2.], wxplot3d([r*cos(th),r*sin(th),1-ug[1,1]],[r,5.,50.],[th,-%pi,%pi], ['grid,20,30],['z,-2,0],[psfile],['legend,title])); \end{verbatim}} \end{minipage} \%i57 Заголовок: "Потенциал Шварцшильда для массы $M$=2. Строит в блоке 3хмерный график $x=r\cos(\theta)$, $y=r\sin(\theta)$, $z=1-g^{-1}_{11}$. $r$ меняется от 5 до 50, $\theta$ от $-\pi$ до $\pi$, z от -2 до 0, масса $M=2$. Формируется файл ps, легенда и название показаны на графике. \textit{После того как мы нашли метрику, можно записать выражение, аналогичное уравнению \eqref{Newton}, при этом второе слагаемое будет теперь соответствовать потенциалу Шварцшильда.} \section*{\textbf{Приложение.} Пример использования пакета wxMaxima для иллюстрации\\ вывода метрик Шварцшильда и\\ Рейсcнера-Нордстрёма} \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i1) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} kill(all); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o0) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i1) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} load(ctensor); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o1) } C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0/share/maxima/5.30.0/share/tensor/ctensor.mac \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Можно воспользоваться функцией \textbf{csetup}: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i2) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} csetup(); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: %\begin{math}\displaystyle Enter the dimension of the coordinate system:4; %\end{math} %\begin{math}\displaystyle Do you wish to change the coordinate names?y; %\end{math} %\begin{math}\displaystyle Enter a list containing the names of the coordinates in order[t,r,theta,phi]; %\end{math}\begin{math}\displaystyle Do you want to 1. Enter a new metric? 2. Enter a metric from a file? 3. Approximate a metric with a Taylor series? 1; Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric 3. Antisymmetric 4. GeneralAnswer 1, 2, 3 or 4 : 1; Row 1 Column 1: B; Row 2 Column 2: -A; Row 3 Column 3: $-r^{\wedge}2$; Row 4 Column 4: $-r^{\wedge}2*sin(theta)^{\wedge}2$; Matrix entered. Enter functional dependencies with DEPENDS or 'N' if none depends([A,B],[r]); Do you wish to see the metric?y; \begin{math} \begin{pmatrix}B & 0 & 0 & 0\cr 0 & -A & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o2) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Эти команды можно ввести и вручную: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i3) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} kill(all); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o0) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i1) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} load(ctensor); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o1) } C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0/share/maxima/5.30.0/share/tensor/ctensor.mac \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i2) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ct_coords:[t,r,theta,phi]; \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o2) } [t,r,\theta,\phi] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i3) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} depends([A,B],[r]); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o3) } [\mathrm{A}\left( r\right) ,\mathrm{B}\left( r\right) ] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i4) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} lg:matrix([B,0,0,0],[0,-A,0,0],[0,0,-r^2,0],[0,0,0,-r^2*sin(theta)^2]); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o4) } \begin{pmatrix}B & 0 & 0 & 0\cr 0 & -A & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i5) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} cmetric(true); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle Do you wish to see the metric inverse?y; \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t5) } \begin{pmatrix}\frac{1}{B} & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{1}{A} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}\end{pmatrix} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o5) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Символы Кристоффеля: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i6) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} christof(mcs); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t6) } {mcs}_{1,1,2}=\frac{\frac{d}{d\,r}\,B}{2\,A} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t7) } {mcs}_{1,2,1}=\frac{\frac{d}{d\,r}\,B}{2\,B} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t8) } {mcs}_{2,2,2}=\frac{\frac{d}{d\,r}\,A}{2\,A} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t9) } {mcs}_{2,3,3}=\frac{1}{r} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t10) } {mcs}_{2,4,4}=\frac{1}{r} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t11) } {mcs}_{3,3,2}=-\frac{r}{A} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t12) } {mcs}_{3,4,4}=\frac{\mathrm{cos}\left( \theta\right) }{\mathrm{sin}\left( \theta\right) } \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t13) } {mcs}_{4,4,2}=-\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{A} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t14) } {mcs}_{4,4,3}=-\mathrm{cos}\left( \theta\right) \,\mathrm{sin}\left( \theta\right) \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o14) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Ковариантные компоненты тензора Риччи: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i15) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ricci(true); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t15) } {ric}_{1,1}=\frac{\frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B}{2\,A}-\frac{{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}}{4\,A\,B}-\frac{\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{4\,{A}^{2}}+\frac{\frac{d}{d\,r}\,B}{r\,A} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t16) } {ric}_{2,2}=-\frac{\frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B}{2\,B}+\frac{{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}}{4\,{B}^{2}}+\frac{\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{4\,A\,B}+\frac{\frac{d}{d\,r}\,A}{r\,A} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t17) } {ric}_{3,3}=-\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{2\,A\,B}+\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) }{2\,{A}^{2}}-\frac{1}{A}+1 \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t18) } {ric}_{4,4}=-\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{2\,A\,B}+\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) }{2\,{A}^{2}}-\frac{{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}{A}+{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o18) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Смешанные компоненты тензора Риччи: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i19) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} uricci(true); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t19) } {uric}_{1,1}=\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 4\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t20) } {uric}_{2,2}=\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -4\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}}{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t21) } {uric}_{3,3}=\frac{r\,A\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( -r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) -2\,{A}^{2}+2\,A\right) \,B}{2\,{r}^{2}\,{A}^{2}\,B} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t22) } {uric}_{4,4}=\frac{r\,A\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( -r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) -2\,{A}^{2}+2\,A\right) \,B}{2\,{r}^{2}\,{A}^{2}\,B} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o22) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Ковариантные компоненты тензора Эйнштейна: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i23) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} leinstein(true); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t23) } {lein}_{1,1}=\frac{\left( r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) +{A}^{2}-A\right) \,B}{{r}^{2}\,{A}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t24) } {lein}_{2,2}=\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( 1-A\right) \,B}{{r}^{2}\,B} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t25) } {lein}_{3,3}=\frac{r\,\left( 2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}\right) }{4\,{A}^{2}\,{B}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t26) } {lein}_{4,4}=\frac{r\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\,\left( 2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}\right) }{4\,{A}^{2}\,{B}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o26) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Смешанные компоненты тензора Эйнштейна: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i27) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} einstein(true); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t27) } {ein}_{1,1}=\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) +{A}^{2}-A}{{r}^{2}\,{A}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t28) } {ein}_{2,2}=-\frac{r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) +\left( 1-A\right) \,B}{{r}^{2}\,A\,B} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t29) } {ein}_{3,3}=-\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}}{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t30) } {ein}_{4,4}=-\frac{2\,r\,A\,B\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{r}^{2}}\,B\right) -r\,A\,{\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) }^{2}+\left( 2\,A-r\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \right) \,B\,\left( \frac{d}{d\,r}\,B\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,A\right) \,{B}^{2}}{4\,r\,{A}^{2}\,{B}^{2}} \end{math} \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o30) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Получим статичное сферически-симметричное решение уравнения Эйнштейна без заряда. \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i31) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ode2(ev(lein[1,1],theta=%pi/2),A,r); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o31) } \mathrm{log}\left( A\right) -\mathrm{log}\left( A-1\right) =\mathrm{log}\left( r\right) +\%c \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i32) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} logcontract(%); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o32) } \mathrm{log}\left( \frac{A}{A-1}\right) =\mathrm{log}\left( r\right) +\%c \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i33) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} solve(%,A); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o33) } [A=\frac{{e}^{\%c}\,r}{{e}^{\%c}\,r-1}] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% (будем пользоваться граничными условиями для определения констант, при этом для удобства вычислений G=c=1) \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i34) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} %,%c=-log(2*M); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o34) } [A=\frac{r}{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M}] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i35) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} A:%[1],%c=-log(2*M); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o35) } A=\frac{r}{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i36) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ode2(ev(lein[2,2],A),B,r); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o36) } B=\%c\,{e}^{-2\,\left( \frac{\mathrm{log}\left( r\right) }{2\,M}-\frac{\mathrm{log}\left( r-2\,M\right) }{2\,M}\right) \,M} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i37) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} logcontract(%); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o37) } B=-\frac{\%c\,\left( 2\,M-r\right) }{r} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% (Используем граничные условия AB=1, откуда найдём константу \%с. Затем полученное значение подставим в правую часть уравнения выше, чтобы получить функцию В) \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i38) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} B:ev(%,%c=rhs(solve(rhs(%)*rhs(A)=1,%c)[1])); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o38) } B=-\frac{2\,M-r}{r} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Проверим, удовлетворяют ли полученные функции А и В третьему уравнению: \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i39) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} factor(ev(ev(lein[3,3],A,B),diff)); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o39) } 0 \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Таким образом, метрический тензор Шварцшильда (1916)): \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i40) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} lg:ev(lg,A,B); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o40) } \begin{pmatrix}-\frac{2\,M-r}{r} & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{r}{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i41) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ug:invert(lg); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o41) } \begin{pmatrix}-\frac{r}{2\,M-r} & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{2\,\left( \frac{r}{2\,M}-1\right) \,M}{r} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}\end{pmatrix} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% %\noindent %%%%%%%%%%%%%%%% %%%% INPUT: %\begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf %\begin{verbatim} %(%i42) %\end{verbatim}} %\end{minipage} %\begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} %\begin{verbatim} %wxplot3d([r*cos(th),r*sin(th),1-ev(ug[1,1],M:2)],[r,5,50],[th,-%pi,%pi]); %\end{verbatim}} %\end{minipage} %%%% OUTPUT: %\begin{math}\displaystyle %\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%t42) } %\includegraphics[width=9cm]{Пример_img/Пример_1.png} %\end{math} % %\begin{math}\displaystyle %\parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o42) } % %\end{math} %%%%%%%%%%%%%%%% Выведем теперь метрику с учётом заряда. Будем считать, что тензор энергии-импульса уже известен. % (см. С.И. Глазырин, "Вывод метрики Керра-Ньюмана") \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i1) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} kill(all); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o0) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i1) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} load(ctensor); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o1) } C:/PROGRA~1/MAXIMA~1.0/share/maxima/5.30.0/share/tensor/ctensor.mac \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i2) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ct_coords:[t,r,theta,phi]; \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o2) } [t,r,\theta,\phi] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i3) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} depends([A,B],[r]); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o3) } [\mathrm{A}\left( r\right) ,\mathrm{B}\left( r\right) ] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i4) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} lg:matrix([B,0,0,0],[0,-A,0,0],[0,0,-r^2,0],[0,0,0,-r^2*sin(theta)^2]); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o4) } \begin{pmatrix}B & 0 & 0 & 0\cr 0 & -A & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i5) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} cmetric(); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o5) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i6) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} christof(false); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o6) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i7) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} uricci(false); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o7) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i8) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} einstein(false); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o8) } done \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i9) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} solve(ode2(ein[1,1]=q^2/r^4,A,r),A); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o9) } [A=\frac{{r}^{2}}{{r}^{2}-\%c\,r+{q}^{2}}] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i10) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} %,%c=2*M; \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o10) } [A=\frac{{r}^{2}}{-2\,r\,M+{r}^{2}+{q}^{2}}] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i11) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} A:%[1],%c=2*M; \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o11) } A=\frac{{r}^{2}}{-2\,r\,M+{r}^{2}+{q}^{2}} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i12) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} solve(ode2(ev(ein[2,2],A)=q^2/r^4,B,r),B); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o12) } [B=-\frac{2\,\%c\,r\,M-\%c\,{r}^{2}-\%c\,{q}^{2}}{{r}^{2}}] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% (опять же из граничных условий) \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i13) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} %,%c=1; \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o13) } [B=-\frac{2\,r\,M-{r}^{2}-{q}^{2}}{{r}^{2}}] \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i14) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} B:%[1],%c=1; \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o14) } B=-\frac{2\,r\,M-{r}^{2}-{q}^{2}}{{r}^{2}} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i15) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} expand(B); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o15) } B=-\frac{2\,M}{r}+\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}+1 \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i16) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} factor(ev(ev(ein[3,3]+q^2/r^4,A,B),diff)); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o16) } 0 \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% Метрика Рейсснера (1916)-Нордстрёма (1918): \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i17) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} lg:expand(ev(lg,A,B)); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o17) } \begin{pmatrix}-\frac{2\,M}{r}+\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}+1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & -\frac{{r}^{2}}{-2\,r\,M+{r}^{2}+{q}^{2}} & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \noindent %%%%%%%%%%%%%%% %%% INPUT: \begin{minipage}[t]{8ex}{\color{red}\bf \begin{verbatim} (%i18) \end{verbatim}} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{\textwidth}{\color{blue} \begin{verbatim} ug:expand(invert(lg)); \end{verbatim}} \end{minipage} %%% OUTPUT: \begin{math}\displaystyle \parbox{8ex}{\color{labelcolor}(\%o18) } \begin{pmatrix}\frac{1}{-\frac{2\,M}{r}+\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}+1} & 0 & 0 & 0\cr 0 & \frac{2\,M}{r}-\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}-1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{{r}^{2}\,{\mathrm{sin}\left( \theta\right) }^{2}}\end{pmatrix} \end{math} %%%%%%%%%%%%%%% \begin{thebibliography}{99} \bibitem{Maxima1} maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima\_27.html \mbox{[дата обращения: 10.07.14]} \bibitem{Maxima2} maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima\_26.html \mbox{[дата обращения: 10.07.14]} \bibitem{Maxima3} maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima\_25.html \mbox{[дата обращения: 10.07.14]} \bibitem{Toth2} www.elegio.it/max/demo01/einhil.dem.txt \mbox{[дата обращения: 10.07.14]} \bibitem{Toth} http://www.vttoth.com/CMS/projects/61-the-maxima-computer-algebra-system \mbox{[дата обращения: 10.07.14] } \bibitem{Winterberg} Winterberg\,F., Z. Naturforsch, \textbf{59 a}, p.715, 2004 \bibitem{Logunov} Логунов А.А., Мествиришвили М.А., Петров В.А., УФН, 2004, Т.~174, №6 \bibitem{Hilbert} D.Hilbert. die Grundlagen der Physik (Nachr.Ges.Wiss. Gottingen), \textbf{3}, 395 (1915); Перевод на русский см. в сборнике <<Альберт \mbox{Эйнштейн} и теория гравитации>> (М.:Мир, 1979) \bibitem{Landau} Ландау~Л.\,Д., Лифшиц~Е.\,М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. в 10 т. Т.II Теория поля. --- М.: Наука, 1988, 512 стр. \bibitem{Hriplovich} Хриплович~И.\,Б., Общая теория относительности. --- Ижевск: НИЦ <<Регулярная и хаотическая динамика>>, 2001, 120 стр. \bibitem{Kokarev} Кокарев~С.\,С. Введение в общую теорию относительности. --- Ярославль: ЯрГУ, 2010, 368 стр. \end{thebibliography} \end{document}