\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
% \usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-node}
% \usepackage{pst-node}
% % \SpecialCoor
% \parindent=0pt
%\pagestyle{empty}
\usepackage{url}
\usepackage[normalem]{ulem} % use \normalem or [normalem] to restore italics,                       otherwise \emph and {\em } is underlined
\usepackage{maple2e}


% Fuzz --- -------------------------------------------------------
\hfuzz5pt % Don't bother to report over-full boxes < 5pt
\vfuzz5pt % Don't bother to report over-full boxes < 5pt
\hbadness 10000
%\topmargin -27pt
\leftmargin=-1.5truecm
\oddsidemargin=0truecm
\evensidemargin=0truecm
\topmargin=-2.5truecm
\textheight=26truecm
\textwidth=18truecm

% \usepackage{pstricks}
\psset{linecolor=black,linewidth=0.1pt,boxsep=false,framesep=1pt}
\newsavebox{\strbox}
\newlength{\strxmin}\newlength{\strxmax}\newlength{\strymin}\newlength{\strymax}
\newlength{\strsep}\setlength{\strsep}{2pt}
\def\stra#1{
 \savebox{\strbox}{$\displaystyle#1$}\usebox{\strbox}%
 \strxmin=-\wd\strbox\advance\strxmin by -\strsep%
 \strxmax=0pt\advance\strxmax by \strsep%
 \strymin=-\dp\strbox%
 \strymax=\ht\strbox%
 \qline(\strxmin,\strymin)(\strxmax,\strymax)}
\def\strb#1{
 \savebox{\strbox}{$\displaystyle#1$}\usebox{\strbox}%
 \strxmin=-\wd\strbox\advance\strxmin by -\strsep%
 \strxmax=0pt\advance\strxmax by \strsep%
 \strymax=-\dp\strbox%
 \strymin=\ht\strbox%
 \qline(\strxmin,\strymin)(\strxmax,\strymax)}
\def\strc#1{
 \savebox{\strbox}{$\displaystyle#1$}\usebox{\strbox}%
 \strxmin=-\wd\strbox\advance\strxmin by -\strsep%
 \strxmax=0pt\advance\strxmax by \strsep%
 \strymin=-\dp\strbox%
 \strymax=\ht\strbox%
 \qline(\strxmin,\strymin)(\strxmax,\strymax)
 \qline(\strxmin,\strymax)(\strxmax,\strymin)}
\def\strd#1{\psframebox{\stra{#1}}}
\def\stre#1{\psframebox{\strb{#1}}}

\def\samea#1{\psframebox{\displaystyle#1}}
\def\sameb#1{\pscirclebox{\displaystyle#1}}
\def\samec#1{\psovalbox{\displaystyle#1}}
\def\samed#1{\psframebox[framearc=0.3]{\displaystyle#1}}



% \input lecdefs

\def\slantfrac#1#2{\hbox{$\,^#1\!/_#2$}}

\def\msun{M_\odot}
\def\Msun{$\msun$}
\def\rsun{R_\odot}
\def\Rsun{$R_\odot$}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}

\def\beq{\begin{equation}}
\def\enq{\end{equation}}


\def\wfignc#1#2{% nocaption
\begin{wrapfigure}{#1}{0.5\textwidth}
\epsfxsize=0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{#2}\hss}
\end{wrapfigure}
}

\def\twofig#1#2#3#4{%
\begin{figure*}[h]
\centerline{
  \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfxsize=0.45\textwidth\epsfbox{#1}\hss}
  \hss
  \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfxsize=0.45\textwidth\epsfbox{#2}\hss}
}
\centerline{
  \vbox{\hsize=0.45\textwidth\caption{#3}}
  \hss
  \vbox{\hsize=0.45\textwidth\caption{#4}}
}
\end{figure*}
}


\def\G#1 #2 #3 {\Gamma^#1_{#2#3}}
\def\R#1 #2 #3 #4 {R^#1_{#2#3#4}}


%differentials
\renewcommand{\d}[1]{\;\textsf{d}#1}
\newcommand{\pd}[1]{\partial #1}
\newcommand{\D}{\;\textsf{D}}

%dot and double dot for D_t en D_t^2
\newcommand{\dt}[1]{\dot{#1}} %dot notation for d/dt
\newcommand{\dtt}[1]{\ddot{#1}} % double dot notation for d^2 / dt^2
\def\ddt{\frac{\pd}{\pd t}}

%accent (acute) for D_s and D_s^2
\newcommand{\ds}[1]{#1 \acute{}\,} % accent notation for d/ds
\newcommand{\dss}[1]{#1 \acute{}\, \acute{}\,} % double accent notation for d^2 / ds^2

%accent notation for arbitrrary derivative of order 1 or 2
%\newcommand{\dx}[1]{#1 \grave{}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dx}[1]{ \grave{#1}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dxx}[1]{ #1 \hspace*{-0.6em} \raisebox{.8ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}} % double accent
\newcommand{\dxxa}[1]{ #1  \hspace*{-0.3em} \raisebox{.4ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}}% double accent for one symbol
%\newcommand{\dxx}[1]{ \raisebox{-.8ex}{$#1$} \hspace*{-0.6em} \grave{} \; \grave{}\,} % double accent notation for d^2 / dx^2

%opening
% \title{Лекция 6. Вывод метрики Шварцшильда}
%
% \author{Блинников С.И.}
% \date{06 октября 2012 г.}
\begin{document}
%
% \maketitle
%
% \begin{abstract}
% Ковариантная производная, параллельный перенос.
% Тензоры Римана, Риччи.
% Первое упоминание уравнений Эйнштейна и вариационного принципа Гильберта.
% Вычисление компонент тензора Риччи и скаляра Риччи в сферически-симметричной метрике.
% Вывод решений для метрики Шварцшильда из вариационного принципа Гильберта.
% \end{abstract}
%

% \section{Параллельный перенос, ковариантные производные, кривизна}
\subsection*{Памятка о геодезическом лагранжиане и символах Кристоффеля}

По определению  геодезическая $\mathbf{x}(\lambda)$ получается из вариационного принципа
\begin{equation}
      \delta\int_a^b \mathcal{L}[\mathbf{x}(\lambda)] d\lambda= 0, \quad \mbox{где} \quad
    \mathcal{L}[\mathbf{x}(\lambda)]
    \equiv \sqrt{g_{ik} \frac{d x^i}{d\lambda} \frac{d x^k}{d\lambda} } \ .
\label{Lcal}
\end{equation}
 Пусть $s$ -- собственная длина геодезической (а не произвольный параметр $\lambda$).
Было доказано: для гладкой монотонной функции $f(\mathcal{L})$ вариационные принципы
\begin{equation}
    \delta\int_a^b f(\mathcal{L})ds= 0 \quad \mbox{и} \quad \delta\int_a^b \mathcal{L} ds = 0
\label{Lstraight}
\end{equation}
приводят к одинаковым экстремалям.
Обозначим $$\grave x^i \equiv \frac{dx^i}{ds}$$ (так же обратным штрихом обозначаем производные
по $\lambda$ или $\tau$).
Удобно взять $f(\mathcal{L})=\mathcal{L}^2$:
\begin{equation}
  L_s \equiv \mathcal{L}^2 = g_{ik} \frac{d x^i}{ds} \frac{d x^k}{ds}\equiv g_{ik}\grave{x^i} \grave{x^k}, \quad \mbox{откуда уравнения Эйлера-Лагранжа} \quad  \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L_s}{\partial \grave{ x^n}}\right)
    -\frac{\partial L_s}{\partial x^n} = 0.
\label{ELEgeod}
\end{equation}
Последнее равенство и даёт уравнение геодезической
\begin{equation}
  \frac{d^2 x^n}{ds^2} + \Gamma^n_{ik} \frac{dx^i}{ds} \frac{dx^k}{ds}=0,\ \qquad
\mbox{оно же} \qquad
  \dxx{x^n} + \Gamma^n_{ik} \grave{x^i} \grave{x^k}=0\ .
\label{geod}%
\end{equation}
Тут $\Gamma^n_{ik}$ -- коэффициенты связности  = символы Кристоффеля.
Их выражения через $g_{ik}$ получаются сразу же из (\ref{ELEgeod}), но явный вид нам
почти не нужен! Через 4-скорость, $u^i\equiv dx^i/ds$, (\ref{geod}) даёт:
\begin{equation*}
  du^i + \Gamma^i_{nm} u^n dx^m=0\ .
\end{equation*}
Это заменяет условие $du^i=0$ инерциального движения в плоском пространстве-времени,
а в искривленном мире это просто $ Du^i = 0$, если принять следующее определение
ковариантного дифференциала $D$ для любого 4-вектора $A^i$:
\begin{equation}
   DA^i \equiv dA^i + \Gamma^i_{nm} A^n dx^m \qquad \mbox{и} \qquad DA_i \equiv dA_i - \Gamma^n_{im} A_n dx^m.
\label{DAi}
\end{equation}

По метрике $g_{ik}$ можно механически вычислить коэффициенты связности $\Gamma^i_{mn}$ и
тензор кривизны Римана (Riemann tensor), выражение для которого сразу получается из
изменения вектора $\Delta A_k$
\beq
 \Delta A_k={1\over 2}R^i_{klm}A_i\,\Delta f^{lm},
\label{DelAk}
\enq
при параллельном переносе $A_i$ по маленьким контурам $\Delta f^{lm} \sim dx^l dx^m $,
нужно только учесть, что из $DA_i=0$ в (\ref{DAi}) имеем $\delta A_k=\Gamma^n_{im} A_n dx^m$
и разложить всё по Тейлору в первом порядке $\sim dx$ как при выводе теоремы Грина (но ни Грина, ни Стокса не использовать!):
$$
  R^i_{klm} = \frac{\partial \Gamma^i_{km}}{\partial x^l}-
          \frac{\partial \Gamma^i_{kl}}{\partial x^m}
          +\Gamma^i_{nl}\Gamma^n_{km} - \Gamma^i_{nm}\Gamma^n_{kl} \; .
$$
Tензор Риччи (Ricci) есть
\beq
R_{ik}\equiv R^m_{imk} =  \frac{\partial \Gamma^m_{ik}}{\partial x^m}-
          \frac{\partial \Gamma^m_{im}}{\partial x^k}
          +\Gamma^m_{nm}\Gamma^n_{ik} - \Gamma^m_{nk}\Gamma^n_{im} \; .
\label{ricci}
\enq
Для действия Гильберта нам будет нужен только скаляр Риччи, т.е. свёртка
$$
 R \equiv R^i_{\;i}=g^{ik}R_{ik} \ .
$$

Для вывода решения Шварцшильда метрику берём в виде
\beq
  ds^2 = \mathrm{e}^{\nu(t,r)}dt^2 - \mathrm{e}^{\lambda(t,r)}dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2\theta d\varphi^2\ ,
 \label{shw1}
\enq
(здесь единцы $c=1$),
тогда геодезический лагранжиан:
\begin{equation*}
  L_s = \mathrm{e}^{\nu(t,r)}(\grave t)^2 - \mathrm{e}^{\lambda(t,r)}(\grave r)^2 -
 r^2 (\grave\theta)^2 - r^2 \sin^2\theta (\grave\varphi)^2.
\end{equation*}
Можно показать, что Ansatz (\ref{shw1}) исчерпывает статические сферически симметричные решения в пустоте (т.е. без вращения источника гравитации, так как $g_{0\alpha}=0$).

Уравнения Эйлера-Лагранжа (ELE) для этого $L_s$ по $t$:
$$
    \frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial L_s}{\partial \grave t}\right)
    -\frac{\partial L_s}{\partial t} = 0
$$
т.е., обозначая точкой сверху $\dot \nu \equiv \pd_{,0}\nu \equiv \pd_{,t} \nu$, имеем:
$$
\frac{d}{d\tau} (2 \mathrm{e}^{\nu}\grave t) - \mathrm{e}^{\nu}\dot\nu(\grave t)^2+
\mathrm{e}^\lambda \dot\lambda(\grave r)^2 = 0 \ .
$$
Учтём, что $\grave \nu = \dot \nu \grave t + \nu' \grave r $,
обозначая прямым штрихом  $\nu'  \equiv \pd_{,1}\nu \equiv \pd_{,r}\nu $, получаем:
$$
2 \mathrm{e}^{\nu} \; \dxx t + 2 \mathrm{e}^{\nu} \dot\nu  (\grave t)^2
 + 2 \mathrm{e}^{\nu}\nu'\grave t \grave r  - \mathrm{e}^{\nu}\dot\nu(\grave t)^2+
\mathrm{e}^\lambda \dot\lambda(\grave r)^2  =0 \ .
$$
Отсюда:
$$
 \dxx t +  \frac{1}{2} \dot\nu  (\grave t)^2  + \nu'\grave t \grave r  +
\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\lambda-\nu} \dot\lambda(\grave r)^2  =0 \ ,
$$
а из (\ref{geod})
$$
 \dxx{x^0} + \Gamma^0_{ik} \grave{x^i} \grave{x^k}=0\
$$
Из этих выражений можно просто считывать ненулевые
$\Gamma^n_{ik}$, пользуясь уравнением геодезической (\ref{geod}).
Например, $\Gamma^0_{00}$ есть коэффициент при ${\dx t^2}$, а
$\Gamma^0_{11}$ есть коэффициент при ${\dx r^2}$, и т.п., т.е.
$$
\Gamma^0_{00}=  \frac{1}{2} \dot\nu \equiv  \frac{1}{2} \nu_{,0} ,
$$
$$
\Gamma^0_{01}=\frac{1}{2} \nu' \equiv  \frac{1}{2} \nu_{,1}  =\Gamma^0_{10} ,
$$
$$
\Gamma^0_{11}= \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\lambda-\nu} \dot\lambda \ .
$$
Остальные кристоффели этой серии нулевые.

Уравнения Эйлера-Лагранжа (ELE) по $r$:
$$
    \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\partial L_s}{\partial \dx r}\right)
    -\frac{\partial L_s}{\partial r} = 0 \ .
$$
дадут кристофелли с верхним индексом 1:
$$
-\frac{d}{d\tau} (2 \mathrm{e}^{\lambda}\dx r) - \mathrm{e}^{\nu}\nu'(\grave t)^2+
\mathrm{e}^\lambda \lambda'(\grave r)^2
+2r (\dx{\theta}^2 +\sin^2\theta \dx{\varphi}^2) = 0   \ .
$$
Учтём, что $\grave \lambda = \dot \lambda \grave t + \lambda ' \grave r $:
$$
-2 \mathrm{e}^{\lambda} \; \dxx r -  \mathrm{e}^{\lambda} \lambda'  (\grave r)^2
 - 2\mathrm{e}^{\lambda}\dot\lambda \grave t \grave r  - \mathrm{e}^{\nu}\nu'(\grave t)^2
+2r (\dx{\theta}^2 +\sin^2\theta \dx{\varphi}^2) = 0   \ .
$$
Отсюда:
$$
 \dxx r +  \frac{1}{2} \lambda'  (\grave r)^2  + \dot\lambda\grave t \grave r  +
\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\nu-\lambda} \nu'(\grave t)^2
-r \mathrm{e}^{-\lambda} (\dx{\theta}^2 +\sin^2\theta \dx{\varphi}^2) = 0   \ .
$$
Значит:
$$
\Gamma^1_{01}=  \frac{1}{2} \dot\lambda ,
$$
$$
\Gamma^1_{11}=  \frac{1}{2} \lambda' ,
$$
$$
\Gamma^1_{22}=  -r \mathrm{e}^{-\lambda} ,
$$
$$
\Gamma^1_{33}=  -r\sin^2\theta \mathrm{e}^{-\lambda} ,
$$
$$
\Gamma^1_{00}= \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\nu-\lambda} \nu' \ .
$$
В том же духе можно получить и остальные ненулевые кристоффели, взяв ELE для $ \theta$ и $\varphi$:
$$
\G 2 1 2 = \frac{1}{r} , \quad \G 2 3 3 =  -\sin\theta\cos\theta, \quad \G 3 1 3 = \frac{1}{r}  ,  \quad \G 3 2 3 = \ctg\theta .
$$

% Let us get the Schwarzschild metric from Hilbert action
% (Weyl 1917; see also the book by Utiyama, but I will do this even
% in a simpler way). Сейчас появилась книжка И.Хрипловича (см. одно из вложений
% в почте, файл типа {\tt djvu}, где делается похоже на Вейля.
% Ищем решение в виде
% \beq
%   ds^2 = \mathrm{e}^{\nu(r)}dt^2 - \mathrm{e}^{\lambda(r)}dr^2 - r^2 d\Omega^2\ .
%  \label{shw}
% \enq
% %(На лекциях мы взяли чуть другую форму $ds^2 = \mathrm{e}^{\nu(r)}dt^2 - \mathrm{e}^{\lambda(r)}dr^2 - r^2 d\Omega^2\ $,
% %т.е. $\nu=2\alpha, \; \lambda=2\beta$.)
%
% Here units are $c=1$.
% Для этой метрики можно посчитать $\Gamma^i_{km}$, мы уже считали
% через геодезический лагранжиан для случая $\nu=\nu(t,r)\;, \lambda=\lambda(t,r)$.
% Сравните наш вывод с полным вычислением, например, в лекциях
% А.Вихлинина для МФТИ, его формулы (4.59-4.84).
% Ясно, что наш путь гораздо экономней.

\end{document}

