\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
% \usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-node}
% \usepackage{pst-node}
% % \SpecialCoor
% \parindent=0pt
%\pagestyle{empty}
\usepackage{url}
\usepackage[normalem]{ulem} % use \normalem or [normalem] to restore italics,                       otherwise \emph and {\em } is underlined
\usepackage{maple2e}


% Fuzz --- -------------------------------------------------------
\hfuzz5pt % Don't bother to report over-full boxes < 5pt
\vfuzz5pt % Don't bother to report over-full boxes < 5pt
\hbadness 10000
%\topmargin -27pt
\leftmargin=-1.5truecm
\oddsidemargin=0truecm
\evensidemargin=0truecm
\topmargin=-2.5truecm
\textheight=26truecm
\textwidth=18truecm

% \usepackage{pstricks}
\psset{linecolor=black,linewidth=0.1pt,boxsep=false,framesep=1pt}
\newsavebox{\strbox}
\newlength{\strxmin}\newlength{\strxmax}\newlength{\strymin}\newlength{\strymax}
\newlength{\strsep}\setlength{\strsep}{2pt}
\def\stra#1{
 \savebox{\strbox}{$\displaystyle#1$}\usebox{\strbox}%
 \strxmin=-\wd\strbox\advance\strxmin by -\strsep%
 \strxmax=0pt\advance\strxmax by \strsep%
 \strymin=-\dp\strbox%
 \strymax=\ht\strbox%
 \qline(\strxmin,\strymin)(\strxmax,\strymax)}
\def\strb#1{
 \savebox{\strbox}{$\displaystyle#1$}\usebox{\strbox}%
 \strxmin=-\wd\strbox\advance\strxmin by -\strsep%
 \strxmax=0pt\advance\strxmax by \strsep%
 \strymax=-\dp\strbox%
 \strymin=\ht\strbox%
 \qline(\strxmin,\strymin)(\strxmax,\strymax)}
\def\strc#1{
 \savebox{\strbox}{$\displaystyle#1$}\usebox{\strbox}%
 \strxmin=-\wd\strbox\advance\strxmin by -\strsep%
 \strxmax=0pt\advance\strxmax by \strsep%
 \strymin=-\dp\strbox%
 \strymax=\ht\strbox%
 \qline(\strxmin,\strymin)(\strxmax,\strymax)
 \qline(\strxmin,\strymax)(\strxmax,\strymin)}
\def\strd#1{\psframebox{\stra{#1}}}
\def\stre#1{\psframebox{\strb{#1}}}

\def\samea#1{\psframebox{\displaystyle#1}}
\def\sameb#1{\pscirclebox{\displaystyle#1}}
\def\samec#1{\psovalbox{\displaystyle#1}}
\def\samed#1{\psframebox[framearc=0.3]{\displaystyle#1}}



% \input lecdefs

\def\slantfrac#1#2{\hbox{$\,^#1\!/_#2$}}

\def\msun{M_\odot}
\def\Msun{$\msun$}
\def\rsun{R_\odot}
\def\Rsun{$R_\odot$}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}

\def\beq{\begin{equation}}
\def\enq{\end{equation}}


\def\wfignc#1#2{% nocaption
\begin{wrapfigure}{#1}{0.5\textwidth}
\epsfxsize=0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{#2}\hss}
\end{wrapfigure}
}

\def\twofig#1#2#3#4{%
\begin{figure*}[h]
\centerline{
  \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfxsize=0.45\textwidth\epsfbox{#1}\hss}
  \hss
  \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfxsize=0.45\textwidth\epsfbox{#2}\hss}
}
\centerline{
  \vbox{\hsize=0.45\textwidth\caption{#3}}
  \hss
  \vbox{\hsize=0.45\textwidth\caption{#4}}
}
\end{figure*}
}


\def\G#1 #2 #3 {\Gamma^#1_{#2#3}}
\def\R#1 #2 #3 #4 {R^#1_{#2#3#4}}


%differentials
\renewcommand{\d}[1]{\;\textsf{d}#1}
\newcommand{\pd}[1]{\partial #1}
\newcommand{\D}{\;\textsf{D}}

%dot and double dot for D_t en D_t^2
\newcommand{\dt}[1]{\dot{#1}} %dot notation for d/dt
\newcommand{\dtt}[1]{\ddot{#1}} % double dot notation for d^2 / dt^2
\def\ddt{\frac{\pd}{\pd t}}

%accent (acute) for D_s and D_s^2
\newcommand{\ds}[1]{#1 \acute{}\,} % accent notation for d/ds
\newcommand{\dss}[1]{#1 \acute{}\, \acute{}\,} % double accent notation for d^2 / ds^2

%accent notation for arbitrrary derivative of order 1 or 2
%\newcommand{\dx}[1]{#1 \grave{}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dx}[1]{ \grave{#1}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dxx}[1]{ #1 \hspace*{-0.6em} \raisebox{.8ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}} % double accent
\newcommand{\dxxa}[1]{ #1  \hspace*{-0.3em} \raisebox{.4ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}}% double accent for one symbol
%\newcommand{\dxx}[1]{ \raisebox{-.8ex}{$#1$} \hspace*{-0.6em} \grave{} \; \grave{}\,} % double accent notation for d^2 / dx^2

%opening
% \title{Лекция 6. Вывод метрики Шварцшильда}
%
% \author{Блинников С.И.}
% \date{06 октября 2012 г.}
\begin{document}
%
% \maketitle
%
% \begin{abstract}
% Ковариантная производная, параллельный перенос.
% Тензоры Римана, Риччи.
% Первое упоминание уравнений Эйнштейна и вариационного принципа Гильберта.
% Вычисление компонент тензора Риччи и скаляра Риччи в сферически-симметричной метрике.
% Вывод решений для метрики Шварцшильда из вариационного принципа Гильберта.
% \end{abstract}
%

\subsection*{Памятка о вычислении тензора Риччи}

\beq
R_{ik}\equiv R^m_{imk} =  \frac{\partial \Gamma^m_{ik}}{\partial x^m}-
          \frac{\partial \Gamma^m_{im}}{\partial x^k}
          +\Gamma^m_{nm}\Gamma^n_{ik} - \Gamma^m_{nk}\Gamma^n_{im} \; .
\label{ricci}
\enq


Для метрики вида
\beq
  ds^2 = \mathrm{e}^{\nu(t,r)}dt^2 - \mathrm{e}^{\lambda(t,r)}dr^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2\theta d\varphi^2\ ,
 \label{shw1}
\enq
мы получили все ненулевые кристоффели  из геодезического лагранжиана:
$$
\G 0 0 0 =  \frac{1}{2} \dot\nu , \quad
\G 0 0 1 = \frac{1}{2} \nu'  =\Gamma^0_{10} , \quad
\G 0 1 1 = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\lambda-\nu} \dot\lambda \ ,
$$
\beq
\G 1 0 0 = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\nu-\lambda} \nu' ,   \quad
\G 1 0 1 =  \frac{1}{2} \dot\lambda = \G 1 1 0 ,  \quad
\G 1 1 1 =  \frac{1}{2} \lambda' ,  \quad
\G 1 2 2 =  -r \mathrm{e}^{-\lambda} ,  \quad
\G 1 3 3 =  -r\sin^2\theta \mathrm{e}^{-\lambda} \ ,
\label{Chrschw}
\enq
$$
\G 2 1 2 = \frac{1}{r} = \G 2 2 1 , \quad \G 2 3 3 =  -\sin\theta\cos\theta,
\quad \G 3 1 3 = \frac{1}{r} =\G 3 3 1  ,  \quad \G 3 2 3 = \ctg\theta = \G 3 3 2 \ .
$$

Заметим, что  в  $R_{ik}$ (\ref{ricci}) входят такие суммы:
$$
 \G m 0 m = \left(\frac{\dot\nu + \dot\lambda}{2}\right), \quad \G m 3 m = 0,
   \quad \G m 1 m = \frac{1}{2}(\nu'+\lambda'+\frac{4}{r}), \quad \G m 2 m = \ctg\theta .
$$

Вычисление $R_{00}$ проведём полностью:
\begin{equation}
 \begin{split}
 &R_{00} =\frac{\pd\G m 0 0 }{\pd x^m} - \frac{\pd\G m 0 m }{\pd x^0} +
 \G m n m \G n 0 0 - \G m n 0 \G n m 0 = {\pd \G 0 0 0 \over \pd t} + {\pd\G 1
   0 0 \over \pd r} + \\
 &- \ddt\left(\frac{\dot\nu + \dot\lambda}{2}\right) + \G m 0 m \G 0 0 0 + \G
 m 1 m \G 1 0 0 - \G 0 0 0 \G 0 0 0 - \G 0 1 0 \G 1 0 0 - \\
 & -\G 1 0 0 \G 0 1 0 - \G 1 1 0 \G 1 1 0 = \stra{{\ddot\nu\over 2}} +
 {\nu''\over2}\mathrm{e}^{\nu-\lambda} + \nu'\,{\strc{\nu'}-\lambda' \over 2}\,\mathrm{e}^{\nu-\lambda}
 -{\stra{\ddot\nu} + \ddot\lambda\over 2} + \\
 &+ {\dot\nu\over2}{\strb{\dot\nu}+\dot\lambda\over2} +
 \mathrm{e}^{\nu-\lambda}{\nu'\over2}\left(\frac{\nu' +\lambda'}{2} + {2\over
     r}\right) - \strb{{{\dot\nu}^2 \over 4}} - \strc{2\times{{\nu'}^2\over 4}
 \mathrm{e}^{\nu-\lambda}} - {{\dot\lambda}^2\over4} = \\
 &= {\nu''\over2}\mathrm{e}^{\nu-\lambda}
 -{\ddot\lambda\over 2} + {\dot\nu\dot\lambda\over4} +
 \mathrm{e}^{\nu-\lambda}\,{\nu'\over2}\left({\nu'-\lambda' \over 2} + {2\over
     r}\right) - {{\dot\lambda}^2\over4} \; .
 \end{split}
\end{equation}
Здесь одинаковыми чёрточками или крестиками
помечены подобные члены.
Видно, что работа вполне посильная, формулы получаются обозримые.
MTW описывают и более умные способы вычисления через косые формы.

Так же можно расписать остальные компоненты
$R_{ik}$.
Для тренировки попробуйте, и вставьте в \TeX.
Исходный \TeX-файл этой лекции я высылаю.

Выписываем все ненулевые компоненты $R_{ik}$:
$$
R_{00} = {\nu''\over2}\mathrm{e}^{\nu-\lambda}
 -{\ddot\lambda\over 2} + {\dot\nu\dot\lambda\over4} +
 \mathrm{e}^{\nu-\lambda}\,{\nu'\over2}\left({\nu'-\lambda' \over 2} + {2\over
     r}\right) - {{\dot\lambda}^2\over4} \; ,
$$

$$
R_{01}={ \dot\lambda \over r} \; ,
$$

$$
R_{11} = {\ddot\lambda\over2}\,\mathrm{e}^{\lambda-\nu}
    + {\dot\lambda\over 2}\,{{\dot\lambda}+{\dot\nu}\over 2}\,\mathrm{e}^{\lambda-\nu}
     -\left( {\nu'' \over 2} -
     {\nu' \lambda'\over 4} - {\lambda'\over r} +
     {{\nu'}^2\over4}\right)  \; ,
$$

$$
R_{22}=   - \left({\mathrm{e}^{-\lambda}}
     -r\mathrm{e}^{-\lambda}\,{\lambda'-{\nu'}\over 2}-{1} \right) \; ,
$$

$$
R_{33}=   - \sin^2 \theta \left({\mathrm{e}^{-\lambda}}
     -r\mathrm{e}^{-\lambda}\,{\lambda'-{\nu'}\over 2}-{1} \right) \; ,
$$

Нам для вариаций нужен только  {\bf один} скаляр Риччи $R$,
т.е. свертка $R = R^i_{\;i} = g^{ik} R_{ik}$.
Здесь
$$
g^{ik} = \mbox{diag}\{\mathrm{e}^{-\nu(t,r)}, - \mathrm{e}^{-\lambda(t,r)}, - r^{-2},
- r^{-2} \sin^{-2}\theta\} \; .
$$


Получим $R$, умножая $R_{ik}$ на $g^{ik}$, первая строка ниже из $R_{00}$, вторая из $R_{11}$, а третья -
-- сумма из $R_{22}$ и $R_{33}$, причём $\sin^2\theta$ счастливо сокращается:
\begin{small}
\begin{equation}
% \label{eq:gto:shw:R}
 \begin{split}
   &R = \samea{\frac{\nu''}{2}\mathrm{e}^{-\lambda}}
   -\samec{{\ddot\lambda\over 2}\mathrm{e}^{-\nu} + {\dot\nu\dot\lambda\over4}\mathrm{e}^{-\nu}} +
   \mathrm{e}^{-\lambda}\,{\nu'\over2}\left(\samed{{\nu'-\lambda' \over 2}} +
     \samed{{2\over r}}\right) - \sameb{{{\dot\lambda}^2\over4}\mathrm{e}^{-\nu}}
   -\\
   &-\samec{{\ddot\lambda\over2}\,\mathrm{e}^{-\nu}}
     -{\dot\lambda\over2}\,{\sameb{\dot\lambda}-\samec{\dot\nu}\over2}\,\mathrm{e}^{-\nu}
     +\left(
     \samea{{\nu'' \over 2}} -
     \samed{{\nu' \lambda'\over 4}} - {\lambda'\over r} +
     \samed{{{\nu'}^2\over4}}\right)\,\mathrm{e}^{-\lambda} +\\
   &+2\times\left({\mathrm{e}^{-\lambda}\over r^2} -
     \mathrm{e}^{-\lambda}\,{\lambda'-\samed{\nu'}\over 2r}-{1\over r^2} \right) =
   \\
   &=
   \nu''\mathrm{e}^{-\lambda} - \ddot\lambda \mathrm{e}^{-\nu}
   +{\dot\nu\dot\lambda\over2}\mathrm{e}^{-\nu}
   -{{\dot\lambda}^2\over2}\mathrm{e}^{-\nu} +
   \mathrm{e}^{-\lambda}\,\nu'\left({\nu'-\lambda' \over 2}+{2\over r}\right)+\\
   &+2\left({\mathrm{e}^{-\lambda}\over r^2} -
     \mathrm{e}^{-\lambda}\,{\lambda'\over r}-{1\over r^2} \right)
 \end{split}
\label{scricc}
\end{equation}
\end{small}

Теперь опустим зависимость от времени, т.е. будем искать решение в виде
\beq
  ds^2 = \mathrm{e}^{\nu(r)}dt^2 - \mathrm{e}^{\lambda(r)}dr^2 - r^2 d\Omega^2\ .
 \label{shw}
\enq
Тогда $R$ получаем из (\ref{scricc}), если опустим все точки.

Всю эту механическую работу можно сделать, например,
на {\tt Maple}.
На {\tt Maple} мой компьютер мне выдал:

%\begin{maplelatex}
%\mapleinline{inert}{2d}{` R` =
%1/2*(4*diff(lambda(r),r)*r-2*r^2*diff(nu(r),`$`(r,2))-r^2*diff(nu(r),r
%)^2+r^2*diff(lambda(r),r)*diff(nu(r),r)+4*exp(lambda(r))-4-4*diff(nu(r
%),r)*r)/r^2/exp(lambda(r));}{%
%\[
%\mathit{\ R}={\displaystyle \frac {1}{2}} \,{\displaystyle
%\frac {4\,({\frac {d}{dr}}\,\lambda (r))\,r - 2\,r^{2}\,({\frac {
%d^{2}}{dr^{2}}}\,\nu (r)) - r^{2}\,({\frac {d}{dr}}\,\nu (r))^{2}
% + r^{2}\,({\frac {d}{dr}}\,\lambda (r))\,({\frac {d}{dr}}\,\nu (
%r)) + 4\,\mathrm{e}^{\lambda (r)} - 4 - 4\,({\frac {d}{dr}}\,\nu (r))\,r}{
%r^{2}\,\mathrm{e}^{\lambda (r)}}}
%\]
%%
%}
%\end{maplelatex}



\begin{eqnarray*}
%\lefteqn{
 R = \left[ - r^{2}\,\left({\frac {\partial^{2}}{\partial r
^{2}}}\,\nu (r)\right)
- \frac{r^{2}}{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial r}}\,\nu (r)\right)^{2} \right.
+ \frac{r^{2}}{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial r}}\,\nu(r)\right)\,
\left({\frac {\partial }{\partial r}}\,\lambda (r)\right) \\
 - 2 \left({\frac {\partial }{\partial r}}\,\nu (r)\right)r
+ \left. 2\left({\frac {\partial }{\partial r}}\,\lambda (r)\right)r
 + 2\mathrm{e}^{\lambda (r)} - 2 \right] \left/ {\vrule
height0.56em width0em depth0.56em} \right. \!  \! (r^{2}\,
\mathrm{e}^{\lambda (r)}) %\mbox{\hspace{272pt}}
\end{eqnarray*}

Если проделать вручную и
сравнить с (\ref{scricc}) видно,
что ответ Мапла ({\tt Maple}) правильный, только знак $R$ другой.
Такое определение там принято --  следить надо
внимательно.
Правда, для вакуумных решений знак $R$ неважен.

Обозначая $\nu'\equiv \partial_r \nu$,
$\nu''\equiv \partial^2_r \nu$  и т.п., можно $R$  с ``нашим'' знаком записать так:

$$
 R = \left[  r^{2}\nu''
+ (\slantfrac{1}{2}){r^2}\left( \nu'\right)^{2}
- (\slantfrac{1}{2}){r^{2}}\nu' \lambda' + 2 \nu' r -  2\lambda' r
 - 2\mathrm{e}^{\lambda} + 2 \right] \left/ {\vrule
height0.56em width0em depth0.56em} \right. \!  \! (r^{2}\,
\mathrm{e}^{\lambda}) %\mbox{\hspace{272pt}}
$$
или

$$
 R = \mathrm{e}^{-\lambda} \left[ \nu''
+ (\slantfrac{1}{2})\left( \nu'\right)^{2}
- (\slantfrac{1}{2})\nu' \lambda' + 2 (\nu' - \lambda')/ r
 + 2/r^2 \right]   - 2 /r^{2}
$$

\end{document}
