\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-node}
% % \SpecialCoor
%\parindent=0pt
%\pagestyle{empty}

%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{url}
\usepackage[normalem]{ulem} % use \normalem or [normalem] to restore italics,                       otherwise \emph and {\em } is underlined
\usepackage{maple2e}
%\usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}

\def\slantfrac#1#2{\hbox{$\,^#1\!/_#2$}}

\def\msun{M_\odot}
\def\Msun{$\msun$}
\def\rsun{R_\odot}
\def\Rsun{$R_\odot$}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}

\def\beq{\begin{equation}}
\def\enq{\end{equation}}


\def\wfignc#1#2{% nocaption
\begin{wrapfigure}{#1}{0.5\textwidth}
\epsfxsize=0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{#2}\hss}
\end{wrapfigure}
}



%differentials
\renewcommand{\d}[1]{\;\textsf{d}#1}
\newcommand{\pd}[1]{\partial #1}
\newcommand{\D}{\;\textsf{D}}

%dot and double dot for D_t en D_t^2
\newcommand{\dt}[1]{\dot{#1}} %dot notation for d/dt
\newcommand{\dtt}[1]{\ddot{#1}} % double dot notation for d^2 / dt^2

%accent (acute) for D_s and D_s^2
\newcommand{\ds}[1]{#1 \acute{}\,} % accent notation for d/ds
\newcommand{\dss}[1]{#1 \acute{}\, \acute{}\,} % double accent notation for d^2 / ds^2

%accent notation for arbitrrary derivative of order 1 or 2
%\newcommand{\dx}[1]{#1 \grave{}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dx}[1]{ \grave{#1}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dxx}[1]{ #1 \hspace*{-0.6em} \raisebox{.8ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}} % double accent
\newcommand{\dxxa}[1]{ #1  \hspace*{-0.3em} \raisebox{.4ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}}% double accent for one symbol
%\newcommand{\dxx}[1]{ \raisebox{-.8ex}{$#1$} \hspace*{-0.6em} \grave{} \; \grave{}\,} % double accent notation for d^2 / dx^2

\newcommand{\IG}[2]{\includegraphics*[#1]{#2}}


%opening
\title{Семинар по релятивистской астрофизике. 15 мая 2008}
\author{Рук. Блинников С.И.}
\date{}
\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}

П.Бакланов. Получение ньютоновских уравнений движения и
уравнения Пуассона для ньютоновского потенциала из уравнений Эйнштейна.

Е.Сорокина. Реферат работы в Nature, April 2008, о двойной чёрной дыре в объекте
OJ~287.

% С.Блинников. Вывод уравнения движения материальной точки
% по геодезической из условия зануления ковариантной дивергенции
% тензора энергии-импульса

\end{abstract}

%Опять будет смесь текстов на русском и английском.

\section{Ньютоновский предел ОТО}

Пётр очень хорошо рассказал вывод ньютоновского предела ОТО.
Сначала уравнений движения из условия $Du^i=0$, т.е. из
уравнения геодезической  в слабом поле (ниже вывод уже для геодезической в произвольном
поле, что раньше для нас было постулатом,
а теперь оказывается следствием уравнений Эйнштейна).
Затем он дал вывод уравнения Пуассона для ньютоновского потенциала из уравнений Эйнштейна.
TeX файла у меня нет, но можно сравнить с выводом в ЛЛ, Хрипловиче и др.

\section{Двойная чёрная дыра OJ~287}

Елена рассказала о работе из Nature, посланной в почте.

У них ещё есть Supplementary material на пол-МБ. Похоже, не умеют рисовать.
Там всего-то кривая блеска и подпись.
%\wfignc{r}{OJ287LightCurve.ps}
\begin{figure}%[!h]
  \begin{center}
 \IG{width=0.98\textwidth}{OJ287LightCurve.ps} % for TeX
%     \IG{width=0.98\textwidth}{OJ287LightCurve.jpg}% for VTeX
    \caption{\label{OJ287}
The historical light curve of OJ287 in V-magnitude. The data
up to 2004 have been published in Ref. 14, more recent data
from 2005/6 have appeared in Ref. 23 while the most recent
data is yet unpublished.}
  \end{center}
\end{figure}
Я прилагаю свою маленькую копию с той же чёткостью в почте, см. также на рис.~\ref{OJ287}.

Объект OJ~287 -- квазар типа BL~Lacertae (Ящерицы), лацертида, или блазар, замечателен по трём
 причинам: 1) там двойная сверхмассивная чёрная дыра, что уже редкость;
2) одна из двух дыр очень массивна, порядка $M \sim 10^{10} \msun$, что тоже редкость;
3) эффекты отклонения от ньютоновской теории в орбитальном движении очень сильны.


Мы прямо на доске оценили $M$ из наблюдаемого периода $P_{\rm obs}\sim 12$ лет и размера системы
$a\sim 10^4$ астрономических единиц (а.е.=AU). Имеем суммарную массу
из закона Кеплера-Ньютона:
$$
  \frac{G(M+m) }{a^3}= \Omega^2= \frac{4\pi^2}{P^2} \; .
$$
В единицах годы для времени, а.е. для расстояния, и \Msun\ для массы мы, очевидно, имеем $G=4\pi^2$.
Тогда в OJ~287 получаем $M+m = 10^{12}/12^2 \sim 10^{10} \msun$.
Правда, на семинаре мы не учли космологическое красное смещение $z\approx 0.3$ для OJ~287.
Т.е. реально надо подставлять $P=P_{\rm obs}/(1+z)$, что близко к 9 годам.
Но порядок массы это не меняет.

Тогда средняя скорость `малой' чёрной дыры с массой в сотню миллионов масс Солнца,  $v =2\pi a/P \sim 10^{18}/ (3\cdot 10^8) \approx 3\cdot 10^9 $ см/с,
т.е. 10\% от скорости света. Эффекты в разных порядках $v/c$ вполне заметны,
а с учётом эксцентриситета орбиты $e=0.663$ в периастре (он же перицентр) скорость заметно больше
(оцените), поэтому прецессия периастра не 1\% за орбиту, а больше.
Заметны даже эффекты гравитационного излучения, которые должны быть порядка $(v/c)^5$.
Прошу всех, кто хочет знать нашу науку, проверить эти оценки и результаты доложенной работы.
Хороший пример живой релятивистской астрофизики.

% \section{`Сохранение' энергии-импульса и геодезические}
%
% Пока мы не нашли добровольца, который бы рассказал нам, как вывести уравнения Эйнштейна
% \beq
%    R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R=\frac{8\pi G}{c^4}T^{ik}
% \label{eeq}
% \enq
% (например, из вариационного принципа Гильберта),
% но это можно посмотреть в учебниках (есть в ЛЛ, я посылал Хрипловича).
% Как мы поняли в прошлый раз на примерах Шварцшильда и Фридмана, связь вариационного принципа
%  Гильберта с уравнениями Эйнштейна вовсе не тривиальна из-за внеинтегральных членов
% (см. Wald, посланный в прошлый раз).
% Поэтому реально не так уж нужно `выводить' этот фундаментальнейший закон природы.
% Этот закон сумели открыть великие люди и его можно принять за постулат.
% А потом сравнивать его следствия с экспериментом.
%
% Тут я хочу обсудить только одно  важное следствие: движение пробных частиц
% по геодезическим.
% Для этого установим
% связь  равенства \newline $ T^{ik}_{;k}=0$ с уравнениями Эйнштейна.
%
% Можно чисто механически проверить, что
% $$
% (R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R)_{;k}=0 \ .
% $$
% Это следствие так называемого тождества Бианки.
% В ЛЛ и в большинстве других учебников так и делается
% (хотя в ЛЛ ряд моментов в выкладках опущен).
% Отсюда и из (\ref{eeq}) получаем  $ T^{ik}_{;k}=0$. %, что и требовалось доказать: уравнения Эйнштейна
% %содержат не только уравнения поля, но и уравнения движения источников поля.
%
% Однако, условие $(R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R)_{;k}=0$ можно вывести более изящно из
% вариационного принципа. В этом выводе есть ряд поучительных моментов для понимания
% физики. Попробуем сделать это в следующий раз, а пока примем условие $ T^{ik}_{;k}=0$ на веру.
% Чтобы не было логической путаницы, замечу, что ЛЛ выводят $ T^{ik}_{;k}=0$ в параграфе 94,
% предшествующем \S 95, где появляется (\ref{eeq}), но там в \S 94, учитывается, что уравнения
% движения выполнены.
% А нам как раз надо доказать, что из  (\ref{eeq}) следуют уравнения движения.
%
%
% Рассмотрим непрерывную среду с нулевым давлением $P=0$.
% Фактически -- это набор пылинок с гладким распределением скоростей
% (чтобы пылинки какое-то конечное время не сталкивались).
% Непрерывную среду рассматривать удобней, чем просто совокупность
% материальных точек: удаётся избежать введения дельта-функций от координат.
% В любом случае и сплошная среда, и материальная точка -- это идеализации.
% Каждая отдельная `жидкая' частица такой сплошной среды в гравитационном поле будет двигаться как свободная материальная точка в том же поле.
% Найдём закон этого движения.
%
% Пусть координаты частицы $x^i$, а вектор скорости $u^i=dx^i/ds$ (4-вектор!).
% В сплошной среде, как мы условились, $u^i$ образует гладкое векторное поле, причём
% из определения скорости
% $$
%  g_{ik}u^{i}u^{k}=1 \ .
% $$
% Возьмём ковариантную производную, помня, что $g_{ik;m} \equiv 0$ из предыдущих занятий, %(\ref{dgcov}):
% $$
%   0=(g_{ik}u^{i}u^{k})_{;m}= g_{ik}(u^{i}_{;m}u^{k}+u^{i}u^{k}_{;m}) =
%  2 \  g_{ik}u^{i}u^{k}_{;m} \ ,
% $$
% откуда
% $$
%    u_k u^{k}_{;m} = 0 \ .
% $$
% Эти свойства относятся к внутренним, чисто математическим свойствам
% вектора $u^i$, т.е. они верны при любом движении частиц.
% Чуть ниже рассмотрим свойства скорости при движении по геодезическим.
%
% Элемент координатного объёма есть
% $$
%  d^4 x = dx^{0} dx^{1}dx^{2} dx^{3} \ ,
% $$
% а физического $ dt dV = \sqrt{-g} dx^{0} dx^{1}dx^{2} dx^{3} $.
% Пусть скалярное поле $\rho$ определено так, что физическая плотность есть $\rho u^0$, (тогда координатная плотность $\rho u^0\sqrt{-g}$), а поток массы --
%  $\rho u^\alpha$ ($\rho u^\alpha\sqrt{-g}$ соответственно), $\alpha=1,2,3$.
% Подчеркну, что в отличие от многих авторов, я обозначаю через $\rho$ только
% плотность массы (или, например, плотность барионного заряда), а не плотность
% энергии!
% Множитель $u^0$ без гравитации, это просто Лоренц-фактор.
% При наличии гравитации это ещё и замедление времени в гравитационном поле.
% Уравнение неразрывности, т.е. закон сохранения массы, который в ньютоновском
% случае был
% $$
% \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla ( \rho \mathbf{v}) =0 \; ,
% $$
% теперь должно выглядеть как
% $$
%    (\rho u^{k}\sqrt{-g})_{,k} = 0 \ ,
% $$
% а это эквивалентно ковариантной дивергенции в 4-мире:
% $$
%    (\rho u^{k})_{;k} = 0 \ .
% $$
% -- можно просто показать, почему это так из свойств  $g$ (см. любой учебник по ОТО).
%
% В этом случае естественна форма тензора энергии-импульса
% $$
%   T^{ik}= \rho u^{i}u^{k}
% $$
% -- т.е. плотность энергии есть $\rho u^0u^0$ (один множитель  $u^0$ как `Лоренц-фактор' в энергии
% каждой частицы, второй как в плотности), поток энергии  $\rho u^0 u^\alpha$,
% плотность импульса  $\rho  u^\alpha u^0$, поток импульса
% $\rho  u^\alpha u^\beta $.
% Координатные плотности соответствуют $ T^{ik}\sqrt{-g}$.
%
% Посмотрим на закон `сохранения' для $ T^{ik}$:
% $$
%  T^{ik}_{;k}=0 \ .
% $$
% Я беру `сохранения' в кавычки, так как этот закон не учитывает передачу энергии-импульса
% гравитационного поля веществу (см. ЛЛ и обширную литературу о псевдотензоре энергии-импульса
% гравитационного поля, который обеспечивает истинное сохранение).
%
% Имеем
% \beq
%   T^{ik}_{;k}= (\rho u^{i}u^{k})_{;k}=  u^{i}(\rho u^{k})_{;k} + \rho u^{k} u^{i}_{;k} \ .
% \label{consvTik}
% \enq
% Первый член справа исчезает по закону сохранения массы
% $ (\rho u^{k})_{;k} = 0 $.
% Разберёмся, что даёт второй член.
%
% Там, где $\rho \ne 0$, т.е. во всей области, где задано поле скоростей, условие
% $ T^{ik}_{;k}=0$ даёт $u^{k} u^{i}_{;k}= u^{i}_{;k} u^{k}=0$, т.е.
% \beq
%  u^i_{;k} u^k
%    = (\partial_k  u^i + \Gamma^i_{jk}  {u^j})u^k= \partial_k  u^i u^k+
%      \Gamma^i_{jk}  {u^j} {u^k} =0 \ .
% \label{uiuk}
% \enq
% Напишем 4-ускорение вдоль траектории частицы:
% $$
%  \grave{u^i}= \frac{d u^i}{ds} = \frac{\partial u^i}{\partial x^k}
% \frac{d x^k}{ds} = \partial_k  u^i u^k \ .
% $$
% Здесь тонкое место -- появление  $\partial u^i/\partial x^k$ -- чтобы иметь право взять производную по любой координате, нужно иметь поле
% скоростей в каждой точке пространства-времени, а не изолированные траектории.
% Согласно уравнению геодезической, % (\ref{geod}),
% $$
%   \grave{u^i} + \Gamma^i_{jk}  {u^j} {u^k}=0\ ,
% $$
% и выражение (\ref{uiuk}) означает, что частицы движутся по геодезическим.
% Итак, зануление последнего члена в выражении  (\ref{consvTik}) показывает,
% что в произвольном гравитационном поле $g_{ab}$ частицы движутся по геодезическим!
% И обратно, если частицы движутся по геодезическим, то   $ T^{ik}_{;k}=0$
% и энергия-импульс `сохраняется' при сохранении массы.
% Повторяю, берём `сохранение' в кавычки, так как на самом деле сохраняться должны энергия-импульс не
%  вещества, а вещества плюс гравитационное поле.
% %См. ЛЛ и другие книги про псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля.
%
% Нам остаётся показать, что $ T^{ik}_{;k}=0$ следует из уравнений Эйнштейна.

\end{document}
