\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-node}
% % \SpecialCoor
%\parindent=0pt
%\pagestyle{empty}

%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{url}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[normalem]{ulem} % use \normalem or [normalem] to restore italics,                       otherwise \emph and {\em } is underlined
\usepackage{maple2e}
%\usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}

% Fuzz --- -------------------------------------------------------
\hfuzz5pt % Don't bother to report over-full boxes < 5pt
\vfuzz5pt % Don't bother to report over-full boxes < 5pt
\hbadness 10000
%\topmargin -27pt
% \leftmargin=-2.5truecm
\oddsidemargin=-1.0truecm
\evensidemargin=-1.0truecm
\topmargin=-2.5truecm
\textheight=26truecm
\textwidth=18truecm


\def\slantfrac#1#2{\hbox{$\,^#1\!/_#2$}}

\def\msun{M_\odot}
\def\Msun{$\msun$}
\def\rsun{R_\odot}
\def\Rsun{$R_\odot$}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}

\def\beq{\begin{equation}}
\def\enq{\end{equation}}


\def\wfignc#1#2{% nocaption
\begin{wrapfigure}{#1}{0.5\textwidth}
\epsfxsize=0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{#2}\hss}
\end{wrapfigure}
}



%differentials
\renewcommand{\d}[1]{\;\textsf{d}#1}
\newcommand{\pd}[1]{\partial #1}
\newcommand{\D}{\;\textsf{D}}

%dot and double dot for D_t en D_t^2
\newcommand{\dt}[1]{\dot{#1}} %dot notation for d/dt
\newcommand{\dtt}[1]{\ddot{#1}} % double dot notation for d^2 / dt^2

%accent (acute) for D_s and D_s^2
\newcommand{\ds}[1]{#1 \acute{}\,} % accent notation for d/ds
\newcommand{\dss}[1]{#1 \acute{}\, \acute{}\,} % double accent notation for d^2 / ds^2

%accent notation for arbitrrary derivative of order 1 or 2
%\newcommand{\dx}[1]{#1 \grave{}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dx}[1]{ \grave{#1}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dxx}[1]{ #1 \hspace*{-0.6em} \raisebox{.8ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}} % double accent
\newcommand{\dxxa}[1]{ #1  \hspace*{-0.3em} \raisebox{.4ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}}% double accent for one symbol
%\newcommand{\dxx}[1]{ \raisebox{-.8ex}{$#1$} \hspace*{-0.6em} \grave{} \; \grave{}\,} % double accent notation for d^2 / dx^2

\newcommand{\IG}[2]{\includegraphics*[#1]{#2}}


%opening
\title{Семинар по релятивистской астрофизике. 22 мая 2008}
\author{Рук. Блинников С.И.}
\date{}
\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}

С.Блинников. Вывод уравнения движения материальной точки
по геодезической из условия зануления ковариантной дивергенции
тензора энергии-импульса

\end{abstract}

%Опять будет смесь текстов на русском и английском.


\section{`Сохранение' энергии-импульса и геодезические}

Пока мы не нашли добровольца, который бы рассказал нам, как вывести уравнения Эйнштейна
\beq
   R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R=\frac{8\pi G}{c^4}T^{ik}
\label{eeq}
\enq
(например, из вариационного принципа Гильберта),
но это можно посмотреть в учебниках (есть в ЛЛ, я посылал Хрипловича).
Как мы поняли в прошлый раз на примерах Шварцшильда и Фридмана, связь вариационного принципа
 Гильберта с уравнениями Эйнштейна вовсе не тривиальна из-за внеинтегральных членов
(см. Wald, посланный в прошлый раз).
Поэтому реально не так уж нужно `выводить' этот фундаментальнейший закон природы.
Этот закон сумели открыть великие люди и его можно принять за постулат.
А потом сравнивать его следствия с экспериментом.

Тут я хочу обсудить только одно  важное следствие: движение пробных частиц
по геодезическим.
Для этого установим
связь  равенства \newline $ T^{ik}_{;k}=0$ с уравнениями Эйнштейна.

Можно чисто механически проверить, что
$$
(R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R)_{;k}=0 \ .
$$
Это следствие так называемого тождества Бианки.
В ЛЛ и в большинстве других учебников так и делается
(хотя в ЛЛ ряд моментов в выкладках опущен).
Отсюда и из (\ref{eeq}) получаем  $ T^{ik}_{;k}=0$. %, что и требовалось доказать: уравнения Эйнштейна
%содержат не только уравнения поля, но и уравнения движения источников поля.

Однако, условие $(R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R)_{;k}=0$ можно вывести более изящно из
вариационного принципа. В этом выводе есть ряд поучительных моментов для понимания
физики. Попробуем сделать это в следующий раз, а пока примем условие $ T^{ik}_{;k}=0$ на веру.
Чтобы не было логической путаницы, замечу, что ЛЛ выводят $ T^{ik}_{;k}=0$ в параграфе 94,
предшествующем \S 95, где появляется (\ref{eeq}), но там в \S 94, учитывается, что уравнения
движения выполнены.
А нам как раз надо доказать, что из  (\ref{eeq}) следуют уравнения движения.


Рассмотрим непрерывную среду с нулевым давлением $P=0$.
Фактически -- это набор пылинок с гладким распределением скоростей
(чтобы пылинки какое-то конечное время не сталкивались).
Непрерывную среду рассматривать удобней, чем просто совокупность
материальных точек: удаётся избежать введения дельта-функций от координат.
В любом случае и сплошная среда, и материальная точка -- это идеализации.
Каждая отдельная `жидкая' частица такой сплошной среды в гравитационном поле будет двигаться как свободная материальная точка в том же поле.
Найдём закон этого движения.

Пусть координаты частицы $x^i$, а вектор скорости $u^i=dx^i/ds$ (4-вектор!).
В сплошной среде, как мы условились, $u^i$ образует гладкое векторное поле, причём
из определения скорости
$$
 g_{ik}u^{i}u^{k}=1 \ .
$$
Возьмём ковариантную производную, помня, что $g_{ik;m} \equiv 0$ из предыдущих занятий, %(\ref{dgcov}):
$$
  0=(g_{ik}u^{i}u^{k})_{;m}= g_{ik}(u^{i}_{;m}u^{k}+u^{i}u^{k}_{;m}) =
 2 \  g_{ik}u^{i}u^{k}_{;m} \ ,
$$
откуда
\begin{equation}
   u_k u^{k}_{;m} = 0 \ .
\label{ukzero}
\end{equation}
Эти свойства относятся к внутренним, чисто математическим свойствам
вектора $u^i$, т.е. они верны при любом движении частиц.
Чуть ниже рассмотрим свойства скорости при движении по геодезическим.

Элемент координатного объёма есть
$$
 d^4 x = dx^{0} dx^{1}dx^{2} dx^{3} \ ,
$$
а физического $ dt dV = \sqrt{-g} dx^{0} dx^{1}dx^{2} dx^{3} $.
Пусть скалярное поле $\rho$ определено так, что физическая плотность есть $\rho u^0$, (тогда координатная плотность $\rho u^0\sqrt{-g}$), а поток массы --
 $\rho u^\alpha$ ($\rho u^\alpha\sqrt{-g}$ соответственно), $\alpha=1,2,3$.
Подчеркну, что в отличие от многих авторов, я обозначаю через $\rho$ только
плотность массы (или, например, плотность барионного заряда), а не плотность
энергии!
Множитель $u^0$ без гравитации, это просто Лоренц-фактор.
При наличии гравитации это ещё и замедление времени в гравитационном поле.
Уравнение неразрывности, т.е. закон сохранения массы, который в ньютоновском
случае был
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla ( \rho \mathbf{v}) =0 \; ,
$$
теперь должно выглядеть как
$$
   (\rho u^{k}\sqrt{-g})_{,k} = 0 \ ,
$$
а это эквивалентно ковариантной дивергенции в 4-мире:
$$
   (\rho u^{k})_{;k} = 0 \ .
$$
-- можно просто показать, почему это так из свойств  $g$ (см. любой учебник по ОТО).

В этом случае естественна форма тензора энергии-импульса
$$
  T^{ik}= \rho u^{i}u^{k}
$$
-- т.е. плотность энергии есть $\rho u^0u^0$ (один множитель  $u^0$ как `Лоренц-фактор' в энергии
каждой частицы, второй как в плотности), поток энергии  $\rho u^0 u^\alpha$,
плотность импульса  $\rho  u^\alpha u^0$, поток импульса
$\rho  u^\alpha u^\beta $.
Координатные плотности соответствуют $ T^{ik}\sqrt{-g}$.

Посмотрим на закон `сохранения' для $ T^{ik}$:
$$
 T^{ik}_{;k}=0 \ .
$$
Я беру `сохранения' в кавычки, так как этот закон не учитывает передачу энергии-импульса
гравитационного поля веществу (см. ЛЛ и обширную литературу о псевдотензоре энергии-импульса
гравитационного поля, который обеспечивает истинное сохранение).

Имеем
\beq
  T^{ik}_{;k}= (\rho u^{i}u^{k})_{;k}=  u^{i}(\rho u^{k})_{;k} + \rho u^{k} u^{i}_{;k} \ .
\label{consvTik}
\enq
Первый член справа исчезает по закону сохранения массы
$ (\rho u^{k})_{;k} = 0 $.
Разберёмся, что даёт второй член.

Там, где $\rho \ne 0$, т.е. во всей области, где задано поле скоростей, условие
$ T^{ik}_{;k}=0$ даёт $u^{k} u^{i}_{;k}= u^{i}_{;k} u^{k}=0$, т.е.
\beq
 u^i_{;k} u^k
   = (\partial_k  u^i + \Gamma^i_{jk}  {u^j})u^k= \partial_k  u^i u^k+
     \Gamma^i_{jk}  {u^j} {u^k} =0 \ .
\label{uiuk}
\enq
Напишем 4-ускорение вдоль траектории частицы:
$$
 \grave{u^i}= \frac{d u^i}{ds} = \frac{\partial u^i}{\partial x^k}
\frac{d x^k}{ds} = \partial_k  u^i u^k \ .
$$
Здесь тонкое место -- появление  $\partial u^i/\partial x^k$ -- чтобы иметь право взять производную по любой координате, нужно иметь поле
скоростей в каждой точке пространства-времени, а не изолированные траектории.
Согласно уравнению геодезической, % (\ref{geod}),
$$
  \grave{u^i} + \Gamma^i_{jk}  {u^j} {u^k}=0\ ,
$$
и выражение (\ref{uiuk}) означает, что частицы движутся по геодезическим.
Итак, зануление последнего члена в выражении  (\ref{consvTik}) показывает,
что в произвольном гравитационном поле $g_{ab}$ частицы движутся по геодезическим!
И обратно, если частицы движутся по геодезическим, то   $ T^{ik}_{;k}=0$
и энергия-импульс `сохраняется' при сохранении массы.
Повторяю, берём `сохранение' в кавычки, так как на самом деле сохраняться должны энергия-импульс не
 вещества, а вещества плюс гравитационное поле.
%См. ЛЛ и другие книги про псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля.

Нам остаётся показать, что $ T^{ik}_{;k}=0$ следует из уравнений Эйнштейна.

Итак выведем соотношение $(R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R)_{;k}=0$ из
вариационного принципа.


Возьмём малое возмущение координат
$$
  \tilde x^i=x^i+\eta^i \ .
$$
По общей формуле преобразования тензоров
$$
  \tilde g^{ik}(\tilde x)=g^{mn}(x)\frac{\partial \tilde x^{i}}{\partial x^{m}}\frac{\partial \tilde x^{k}}{\partial x^{n}} \approx g^{ik}(x) + g^{im}\frac{\partial \eta^{k}}{\partial x^{m}}+ g^{km}\frac{\partial \eta^{i}}{\partial x^{m}} \ .
$$
Также с точностью первого порядка по возмущению
$$
  \tilde g^{ik}(\tilde x)= \tilde g^{ik}(x) + \frac{\partial g^{ik}}{\partial x^{n}}  \eta^{n} \ ,
$$
и вариацию $g^{ik}$ (при одном значении аргумента $x$) можно записать так:
$$
  \tilde g^{ik}(x)- g^{ik}(x) = \delta g^{ik}(x) =  g^{im}\frac{\partial \eta^{k}}{\partial x^{m}}+ g^{km}\frac{\partial \eta^{i}}{\partial x^{m}}
- \frac{\partial g^{ik}}{\partial x^{n}}  \eta^{n} \ .
$$
Выразим частные производные по $x$ через ковариантные:
$$
\frac{\partial \eta^{k}}{\partial x^{m}}=\partial_m \eta^{k}= \eta^{k}_{;m}  - \Gamma^{k}_{nm}\eta^{n} = \eta^{k}_{;m}  -
   {1\over 2} g^{lk}(\partial_m g_{nl} + \partial_n g_{ml}-\partial_l g_{nm})\eta^{n} \ ,
$$
$$
\frac{\partial \eta^{i}}{\partial x^{m}}=\partial_m \eta^{i}= \eta^{i}_{;m}  - \Gamma^{i}_{nm}\eta^{n} = \eta^{i}_{;m} -
   {1\over 2} g^{li}(\partial_m g_{nl} + \partial_n g_{ml}-\partial_l g_{nm})\eta^{n} \ ,
$$
Домножим обе строки на $g^{im}, \;  g^{km}$ и сложим:
$$
g^{im}\eta^{k}_{;m}  -
 {1\over 2} g^{im}g^{lk}(\uline{\partial_m g_{nl}}+\partial_n g_{ml}-
\uwave{\partial_l g_{nm}})\eta^{n}
$$
$$
+ g^{km}\eta^{i}_{;m} -
   {1\over 2} g^{km}g^{li}(\uwave{\partial_m g_{nl}} +  \partial_n g_{ml}-\uline{\partial_l g_{nm}})\eta^{n} \ ,
$$
одинаково подчёркнутые члены можно сократить, заменяя немые индексы
$m \rightleftarrows l$.
Тогда получим
$$
g^{im}\eta^{k}_{;m}  -
 {1\over 2} g^{im}g^{lk}( \partial_n g_{ml})\eta^{n}
+ g^{km}\eta^{i}_{;m} -
   {1\over 2} g^{km}g^{li}( \partial_n g_{ml})\eta^{n} \ ,
$$
и, опять меняя в последнем члене $m \rightleftarrows l$,
\beq
g^{im}\eta^{k}_{;m}  -
  g^{im}g^{lk}( \partial_n g_{ml})\eta^{n}
+ g^{km}\eta^{i}_{;m}  \ .
\label{gimetak}
\enq
Из того, что $g^{ab}$ является обратной матрицей к $g_{ab}$,
$$
    g_{il}g^{lm}=\delta_i^m \ ,
$$
имеем
$$
   (\partial_k g_{il}) g^{lm} + g_{il} (\partial_k g^{lm}) =0 \ ,
$$
т.е.
$$
    g^{lm} (\partial_k g_{il}) = - g_{il} (\partial_k g^{lm}) \ .
$$
Значит в (\ref{gimetak}),
$$
g^{lk}( \partial_n g_{ml}) = - g_{ml}(\partial_n g^{lk}) \ ,
$$
а
$$
  g^{im}g^{lk}( \partial_n g_{ml}) = - g^{im}g_{ml}(\partial_n g^{lk}) = - \delta^i_l \partial_n g^{lk}  = - \partial_n g^{ik}
 \ ,
$$
откуда
$$
\partial_m \eta^{k} + \partial_m \eta^{i} = g^{im}\eta^{k}_{;m}+ g^{km}\eta^{i}_{;m} + \partial_n g^{ik}\eta^{n}  \ .
$$
и
$$
\delta g^{ik}=\partial_m \eta^{k} + \partial_m \eta^{i}-\partial_n g^{ik}\eta^{n} = g^{im}\eta^{k}_{;m}+ g^{km}\eta^{i}_{;m} = \eta^{k;i}+\eta^{i;k} \ .
$$
Это и есть наш главный результат сегодня:
\beq
\delta g^{ik}=\eta^{k;i}+\eta^{i;k} \ .
\label{dgik}
\enq
Опять же из определения обратной матрицы
   $ g_{il}g^{lm}=\delta_i^m $ имеем
\beq
\delta g_{ik}=-\eta_{k;i}-\eta_{i;k} \ .
\label{mdgik}
\enq

Если у нас при таких возмущениях получается $\delta g_{ik}=0$, то уравнения $\eta_{k;i}+\eta_{i;k}=0$
определяют векторное поле, которое называют вектором Киллинга.
Про них и про связь с производной Ли смотри вложения.

%В одной из лекций мы сделали набросок доказательства, что
В стандартных учебниках показывают, что вариация действия Гильберта для
гравитационного поля при вариации метрики есть
$$
 \delta S_H= \varkappa \int (R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R) \delta g^{ik}\sqrt{-g} d^4 x  \ .
$$
Подставив сюда $\delta g^{ik} =\eta^{k;i}+\eta^{i;k}$ для специального класса
возмущений, которые мы только что рассмотрели, получим $ \delta S_H=0$, так
как $S_H$ есть скаляр и от преобразования координат никак не должен меняться.
Повторив все рассуждения
из параграфа ЛЛ о тензоре энергии-импульса в гравитации (в издании 1967 г. это \S 94), где они получили $ T^{ik}_{;k}=0$, с заменой в их формулах (94,6) и (94,7) $ T_{ik} \; \mbox{на} \;  (R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R)\;  $

Краткий набросок такой.

Обозначим
$$
  G_{ik} \equiv R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R \; .
$$
Тогда
$$
 \delta S_H= \varkappa \int G_{ik} (\eta^{k;i}+\eta^{i;k})\sqrt{-g} d^4 x  \ .
$$
Из симметрии $G_{ik}$
$$
 \delta S_H= 2 \varkappa \int G_{ik} \eta^{i;k}\sqrt{-g} d^4 x  \ .
$$
После этого берём интеграл по частям (или выделяем дивергентный член).
Поверхностной частью пренебрегаем как всегда (не забудем о возможных трудностях).
Остаётся
$$
 \delta S_H= -2 \varkappa \int G_{ik}^{;k} \eta^{i}\sqrt{-g} d^4 x  \ .
$$
Что равно нулю для наших координатных возмущений и из произвольности $\eta^{i}$,
поднимая и опуская индексы,  мы получим
$$
(R^{ik}-\frac{1}{2}g^{ik}R)_{;k}=0 \ .
$$
Тогда из уравнений Эйнштейна сразу имеем $ T^{ik}_{;k}=0$, значит, уравнения Эйнштейна
содержат не только уравнения поля, но и уравнения движения источников поля,
что и требуется доказать.

Но осталось ещё проверить закон сохранения массы.

Теперь мы  имеем
\beq
  T^{ik}_{;k}= (\rho u^{i}u^{k})_{;k}=  u^{i}(\rho u^{k})_{;k} + \rho u^{k} u^{i}_{;k}=0 \ .
\label{Tik0}
\enq
т.е.
$$
u^{i}(\rho u^{k})_{;k} + \rho u^{k} u^{i}_{;k}=0
$$
-- умножим на $u_{i}$. Второй член занулится из-за равенства $ u_k u^{k}_{;m} = 0$ под
номером (\ref{ukzero}),
что в прошлый раз тривиально доказали (только заменим немое $k$ на $i$).
Остаётся
$ (\rho u^{k})_{;k} = 0 $
-- закон сохранения массы.

\section{Сливающиеся нейтронные звёзды}

Предыдущее доказательство движения пробных частиц по геодезическим принадлежит, по-видимому,
П.Дираку.
В.А.Фок с сотрудниками провёл большую работу о выводе уравнений движения из ОТО для тел
конечных размеров (метод Фока для островного расположения масс).
Современные машинные расчёты позволяют во всех деталях изучать движения релятивистских звёзд
в ОТО, даже с учётом излучения гравитационных волн, см. заметку ниже.


Accurate evolutions of inspiralling neutron-star binaries: prompt and delayed collapse to
black hole

Authors: Luca Baiotti, Bruno Giacomazzo, Luciano Rezzolla

(Submitted on 3 Apr 2008)

    Abstract: Binary neutron-star (BNS) systems represent primary sources for the gravitational-wave (GW) detectors. We present a systematic inve\-sti\-gation in full GR of the dynamics and GW emission from BNS which inspiral and merge, producing a black hole (BH) surrounded by a torus. Our results represent the state of the art from several points of view: (i) We use HRSC methods for the hydrodynamics equations and high-order finite-differencing techniques for the Einstein equations; (ii) We employ AMR techniques with "moving boxes"; (iii) We use as initial data BNSs in irrotational quasi-circular orbits; (iv) We exploit the isolated-horizon formalism to measure the properties of the BHs produced in the merger; (v) Finally, we use two approaches, based either on gauge-invariant perturbations or on Weyl scalars, to calculate the GWs. These techniques allow us to perform accurate evolu\-tions on timescales never reported before (ie ~30 ms) and to provide the first complete description of the inspiral and merger of
a BNS leading to the prompt or delayed formation of a BH and to its ringdown. We consider either a polytropic or an ideal fluid EOS and show that already with this idealized EOSs a very interesting phenomenology emerges. In particular, we show that while high-mass binaries lead to the prompt formation of a rapidly rotating BH surrounded by a dense torus, lower-mass binaries give rise to a differentially rotating NS, which undergoes large oscillations and emits large amounts of GWs. Eventually, also the NS collapses to a rotating BH surrounded by a torus. Finally, we also show that the use of a non-isentropic EOS leads to significantly different evolutions, giving rise to a delayed collapse also with high-mass binaries, as well as to a more intense emission of GWs and to a geometrically thicker torus.

Comments: 	33 pages, 29 figures, submitted to Phys. Rev. D; high-resolution figures and animations can be found at this http URL

\noindent
{\small
\url{numrel.aei.mpg.de/Visualisations/Archive/BinaryNeutronStars/Relativistic_Meudon/index.html}
}
--- ссылка, похоже уже, не работает.
% \href{http://numrel.aei.mpg.de/Visualisations/Archive/BinaryNeutronStars/Relativistic_Meudon/index.html }{Relativistic\_Meudon}

Subjects: 	General Relativity and Quantum Cosmology (gr-qc); Astrophysics (astro-ph)

Cite as: 	arXiv:0804.0594v1 [gr-qc]


\end{document}
