\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}
\input lecdefs

%opening
\title{Семинар по релятивистской астрофизике. 28 февраля 2008}
\author{Рук. Блинников С.И.}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}

Начнём собирать по кусочкам материалы по обсуждаемым темам...

\end{abstract}

\section{Система отсчёта и система координат}

Пространство-время (spacetime) по А.А.Фридману будем называть {\bf миром}.
Точки и линии в нём -- {\bf мировыми}.

По А.Л.Зельманову будем различать систему отсчёта и систему координат.

Система отсчёта -- это вообще говоря произвольным образом деформирующееся {\bf тело отсчёта},
на котором проведена координатная сетка (пока пусть трёхмерная) и в каждой точке есть часы,
позволяющие фиксировать моменты времени (четвёртая координата, а индекс ей будем давать 0).
Деформации тела отсчёта будем полагать непрерывными.
Координатные сетки и часы произвольные, но при переходе от одной мировой точки к другой,
близкой, пусть все четыре координаты меняются мало, т.е. есть их непрерывность.

Системы координат, привязанные к одному и тому же телу отсчёта, могут быть разными
(декартовые, сферические, цилиндрические и континуум других...), но они называются
 принадлежащими одной системе отсчёта.
Тела отсчёта называются разными, если они движутся (в частности, деформируются) относительно
друг друга. 

Чтобы измерять физические интервалы, нужно иметь идеальные масштабы и идеальные часы.
Идеальные часы отсчитывают ``истинное'' физическое время, а координатные часы отсчитывают
координатное время.
Для эталона времени идеальных часов используется частота фотона определенного атомного перехода.
Для эталона длины - длина волны фотона того же перехода, причём скорость света $c$
фиксирована как универсальная константа.
Ясно, что это удобно для практики, где не замечено нарушений локальной Лоренц-инвариантности,
но об этом нужно помнить в альтернативных теориях, где всё может нарушаться.

\section{Интервал}

В плоском эвклидовом пространстве в декартовых координатах мы пишем
элемент длины  $dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$.
Равномерное и прямолинейное движение можно описать так:
$$
 x=a_1+u_1\lambda, \quad  y=a_2+u_2\lambda, \quad  z=a_3+u_3\lambda,
$$
вместо $t$ я поставил параметр $\lambda$. Он может быть и равен $t$.


4D-мир уже неэвклидов даже без всякой гравитации -- это пространство Минковского.
Лоренц-инвариантный интервал
$$
 d s^2=c^2\,dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.
$$
В общем случае интервал будем писать вводя 
метрику (метрический тензор)  $g_{ik}$, зависящий от 4-координат:
\begin{equation*}
  ds^2=\sum_{i,k=0}^3 g_{ik}(x)\,dx^idx^k \equiv
  g_{ik}(x)\,dx^idx^k,
 \end{equation*}
причём $g_{ik}=g_{ki}$ (summation over repeated indexes).

Например,
\begin{equation*}
  ds^2 = c^2dt^2 - {dr^2}- r^2 d\Omega^2\ ,
\end{equation*}
-- тот же интервал Минковского, но в сферических координатах.


\section{Гравитационное красное смещение. Замедление времени}


Покажу, следуя лекциям Зельдовича, что в гравитационном поле происходит
замедление времени. Для этого рассмотрим один проект вечного двигателя. На установке из двух
блоков (рис.) будем поднимать ядра дейтерия, а опускать протоны и нейтроны.
(Я предлагал на семинаре другую реакцию ядра C-12 и Mg-24).

Пусть внизу протоны реагируют с нейтронами, а образующиеся $\gamma$--кванты
используются наверху для диссоциации дейтерия. Масса $D$ на 2,2 МэВ меньше $m_P+m_n$,
поэтому под действием большей тяжести p-n система будет отдавать энергию, совершать
вечное движение.
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\epsfxsize=0.25\textwidth
\hbox to0.3\textwidth{\hss\epsfbox{f53l.ps}\hss}
\end{wrapfigure}


Ошибка этого проекта в том, что в действительности $\gamma$--квант не поглотится, так как
часть его энергии уйдет на преодоление силы тяжести:
$$
E'_{\gamma}=E_{\gamma}-{gh\over{c^2}}E_{\gamma}=E_{\gamma}-{\varphi_1-\varphi_2\over{c^2}}
E_{\gamma}. % izmenil znak! \varphi
$$
Энергия $\gamma$--кванта $E_\gamma=\hbar \omega$. Поскольку $E'_{\gamma}<E_{\gamma}$,
то $\omega'<\omega$, т. е. частота фотонов испытывает красное смещение в гравитационном поле.
Этот эффект уже наблюдался на Земле с помощью эффекта Мёссбауэра (опыт Паунда и Ребки).
(И давно учитывается в GPS).

В общем случае можно написать $$
\omega_{\mbox{прин}}=\omega_{\mbox{исп}}\left(1+\frac{\Delta\varphi}{c^2}\right)\,,
$$ где $\Delta\varphi$ --- различие гравитационного потенциала в
местах испускания и приема. Это соотношение верно для фотонов
любых частот. В данном месте частота фотонов зависит только от
свойств испускающих их атомов (или ядер). На этих же свойствах
основано и измерение времени в данном месте (атомные часы).
Поэтому наблюдатель, находящийся в точке с другим гравитационным
потенциалом, будет интерпретировать сдвиг частот как изменение
хода времени:
\begin{equation}
\Delta\tau_{\mbox{прин}}=\Delta\tau_{\mbox{исп}}\left(1-{\Delta\varphi\over{c^2}}\right).
\end{equation}


Теперь мы видим конкретно, что изменяется течение времени в разных точках. Это можно интерпретировать
как изменение коэффициента $g_{00}$ при временной координате в метрике. Рассмотрев как изменяется
$g_{00}$ в слабом поле (т. е. ньютоновском случае), мы увидим, что $g_{00}$ играет
роль ньютоновского потенциала для медленных частиц.

Рассмотрим статическое гравитационное поле. По определению это значит, что метрику
можно написать в виде
$$
ds^2=g_{00}(dx^0)^2+g_{\alpha\beta}\,dx^{\alpha}dx^{\beta}\qquad (\alpha,\beta=1,2,3),
$$
причем ни $g_{00}$, ни $g_{0\alpha}$ не зависят от временной координаты $x^0$.
Пусть в некоторой точке $r_1$ испускаются два световых сигнала с запаздыванием $\Delta x^0$
и принимаются в точке $r_2$ (см. рис. ). Поскольку $g_{ik}$ от $x^0$ не зависит, мировая
линия второго сигнала отличается от первой только сдвигом по координате $x^0$ на
$\Delta x^0$, т. е. запаздывание сигналов в точке приема по координатному времени
тоже будет $\Delta x^0$.

%\wfig{r}{f54}{}
\wfignc{r}{f54.ps}
Однако наблюдатель пользуется не координатным, а собственным временем $\tau$.
Это соответствует тому, что он в своей окрестности пользуется метрикой
$$
ds^2=c^2d\tau^2-dl^2.
$$
Интервал между двумя событиями --- приходом сигналов в точку $r_2$ --- инвариантен
(не зависит от выбора метрики), т. е.
$$
\sqrt{g_{00}(2)\,}\,\Delta x^0=c\;\Delta\tau_2.
$$
Отсюда и из (8.2) получаем связь $g_{00}$ и ньютоновского потенциала $\varphi$:
$$
g_{00}=\left(1+{2\varphi\over{c^2}}\right).
$$

На следующих семинарах получим эту связь и без квантов.
Хотя иногда связь гравитации и квантовой механики совершенно неожиданна.
Например, в парадоксе Эйнштейна о соотношении неопределённости.

\end{document}
