\documentclass[preprintnumbers,amsmath,amssymb]{revtex4}
\usepackage{graphicx}% Include figure files
\usepackage{dcolumn}% Align table columns on decimal point
\usepackage{bm}% bold math
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage{feynmp}

\def\Div{\mathop{\rm div}}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}}

%\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup
%\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup}

\begin{document}

\title{Вывод метрики Керра-Ньюмана}

\author{С.И. Глазырин}

\maketitle

\section{Введение}
Метрика Керра-Ньюмана описывает вращающуюся, заряженную черную дыру. Согласно
книге~\cite{ll2} \newline
``... в литературе нет конструктивного аналитического вывода метрики Керра,
адекватного ее физическому смыслу ...'' (сам Керр угадал это решение уравнений Эйнштейна~\cite{Kerr}).
Другой известный специалист по гравитации~\cite{chandra2}
оспаривает это утверждение и приводит вывод данной метрики, основанный на ``... разумных физических
и математических предположениях ...''. Но, к сожалению, этот вывод чрезвычайно
сложен из-за громоздких
вычислений.
В 1965 году Ньюман и Дженис~\cite{NewmanJanis}
предложили некоторый математический трюк (алгоритм), позволяющий довольно
просто из метрики Шварцшильда получить метрику Керра через некоторое комплексное преобразование.
Сам алгоритм был предложен как некоторая простая математическая процедура, которая ``случайно''
приводит к ответу. В данном реферате мы опишем этот алгоритм и получим метрику Керра-Ньюмана,
по пути выведя метрику Рейснера-Нордстрёма (невращающейся заряженной ЧД).

\section{Метрика Рейснера-Нордстрёма}

Пусть черная дыра имеет заряд $q$ и не вращается. Запишем общий вид радиально-симметричной стационарной метрики в этом случае

\begin{equation}
ds^2=e^{\nu(r)} dt^2-e^{\lambda(r)} dr^2 -r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)
\label{metrics}
\end{equation}

Условия, накладываемые на неизвестные функции - метрика на бесконечности должна
переходить в метрику плоского пространства

\begin{equation}
\nu(r)\rightarrow 0,~\lambda(r)\rightarrow 0~~\mbox{при}~r\rightarrow\infty
\end{equation}

Для начала решим уравнения Максвелла

\begin{equation}
\nabla_\mu F^{\mu\nu}=4\pi j^{\nu}
\end{equation}

Удобно переписать это уравнение в виде

\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(\sqrt{-g}F^{\mu\nu}\right)=4\pi j^\nu
\end{equation}

Запишем интеграл, который вычисляет заряд всей Вселенной (в нашем случае черной дыры)
- для этого необходимо проинтегрировать $j^0$ по всему 3-х мерному
объему при постоянном времени удаленного наблюдателя t=const. В данной ситуации
мы можем сделать такую процедуру, т.к. метрика не содержит $g_{i0}$ компонент - время не
перемешано с пространством. Напомним, что 4-вектор плотности тока (см.~\cite{ll2})

\begin{equation}
j^\mu=\frac{\rho}{\sqrt{g_{00}}}\frac{dx^\mu}{dx^0}
\end{equation}

и элемент 3-х мерного объема $dV=\sqrt{-^3g}d^3 x$. Где ${}^3g$ - детерминант
пространственной матрицы: $\sqrt{-g}=\sqrt{g_{00}}\sqrt{-^3g}$. Тогда

\begin{equation}
q=\int d^3 x\sqrt{-^3g}\left(j^0\sqrt{g_{00}}\right)=\frac{1}{4\pi}\int
d^3 x \sqrt{-g}\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_i\left(\sqrt{-g}F^{i0}\right)=
\frac{1}{4\pi}\int dS_i \sqrt{-g} F^{i0}
\label{eq:charge}
\end{equation}

%Объясним, как можно вычислять $dS_\mu$ на языке форм. Теорема Гаусса может быть
%записана

%\begin{equation}
%\int\limits_{V}d\omega=\int\limits_{\partial V}\omega
%\end{equation}

%Где $\omega$ - дифференциальная форма. Мы знаем как выглядит
%$d\omega=\partial_i f^i dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$. Из этого
%выражения можно получить $\omega$, которая приводит к такому внешнему
%дифференциалу

%\begin{equation}
%\omega=f^0 dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3-f^1 dx^2\wedge dx^3\wedge dx^0+f^2
%dx^3\wedge dx^0\wedge dx^1-f^3 dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2
%\end{equation}

Определим поверхность, по которой происходит интегрирование, поверхностью шара с
радиусом r. Сделаем физическое предположение - электрическое поле направлено вдоль
радиуса, а магнитное отсутствует (это означает, что ненулевыми будут только
$F^{10}$ и $F^{01}$ компоненты)

\begin{equation}
q=\frac{1}{4\pi}\int e^{\frac{\nu+\lambda}{2}}r^2\sin\theta
F^{10}d\theta d\varphi=e^{\frac{\lambda+\nu}{2}}r^2 F^{10}
\end{equation}

это нам задает $F^{\mu\nu}$, $F_{\mu\nu}$ и $F^{\mu}_{~~\nu}$

\begin{eqnarray}
&F^{10}=\frac{q}{r^2}e^{-\frac{\nu+\lambda}{2}},~~F^{01}=-\frac{q}{r^2}e^{-\frac{\nu+\lambda}{2}}\nonumber\\
&F_{10}=-\frac{q}{r^2}e^{\frac{\nu+\lambda}{2}},~~F_{01}=\frac{q}{r^2}e^{\frac{\nu+\lambda}{2}}\nonumber\\
%F^1_{~~0}=\frac{q}{r^2}e^{\frac{\nu-\lambda}{2}},~~F^0_{~~1}=\frac{q}{r^2}e^{\frac{\lambda-\nu}{2}}\nonumber\\
&F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-2\frac{q^2}{r^4}
\end{eqnarray}

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

\begin{equation}
T^\mu_{\nu}=-\frac{1}{4\pi}\left(F^{\mu\lambda}F_{\nu\lambda}-F_{\lambda\rho}F^{\lambda\rho}\delta^\mu_\nu\right)
\end{equation}

Тогда ненулевые компоненты

\begin{equation}
T^0_0=T^1_1=\frac{q^2}{8\pi r^4},~~T^2_2=T^3_3=-\frac{q^2}{8\pi r^4}
\end{equation}

Для метрики~(\ref{metrics}) ненулевые компоненты тензора Риччи можно найти
в~\cite{ll2},\cite{vergeles}.
Учитывая, что $T^\mu_\mu=0$, поэтому $R=0$, сразу запишем уравнения Эйнштейна
(все функции зависят только от $r$)

\begin{eqnarray}
R^0_0&=&e^{-\lambda}\left(\frac{\lambda'}{r}-\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}=8\pi
T^0_0\label{ricci00}\\
R^1_1&=&-e^{-\lambda}\left(\frac{\nu'}{r}+\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}=8\pi
T^1_1\label{ricci11}\\
R^2_2=R^3_3&=&-\frac{1}{2}e^{-\lambda}\left(\nu''+\frac{{\nu'}^2}{2}+\frac{\nu'-\lambda'}{r}-\frac{\nu'\lambda'}{2}\right)=8\pi G T^2_2=
8\pi G T^3_3\label{ricci22}
\end{eqnarray}

Вычтем из~(\ref{ricci00})-~(\ref{ricci11}), получим (т.к. $T^0_0=T^1_1$)

\begin{equation}
e^{-\lambda}\frac{\lambda'+\nu'}{r}=0
\end{equation}

сокращаем и интегрируем

\begin{equation}
\lambda+\nu=\mbox{const(r)}=0
\end{equation}

последнее равенство получается из граничных условий.

Рассмотрим уравнение~(\ref{ricci00}). Его левая часть очень хорошо свертывается

\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r-re^{-\lambda}\right)=\frac{q^2}{r^4}
\end{equation}

После интегрирования получим

\begin{equation}
e^{-\lambda}=1-\frac{C_1}{r}+\frac{q^2}{r^2}
\end{equation}

из требования перехода в метрику Шварцшильда при $q=0$ получим $C_1=2m$.

Запишем ответ для метрики Рейснера-Нордстрёма

\begin{equation}
ds^2=\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}\right)dt^2-\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}\right)^{-1}dx^2-r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta
d\varphi^2\right)
\label{reissnernordstrom}
\end{equation}

\section{Метрика Керра-Ньюмана}

Опишем алгоритм Ньюмана-Джениса. Он состоит из нескольких шагов (см.~\cite{NewmanJanis},\cite{DrakeSzekeres})

\begin{enumerate}

\item Запишем метрику Рейснера-Нордстрёма в координатах
Эддингтона-Финкельштейна. Эти координаты связаны с радиально движущимися фотонами.
Для фотона $ds^2=0$, поэтому

\begin{equation}
\frac{dt}{dr}=\frac{1}{1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}}
\end{equation}

решение

\begin{equation}
t=\int\frac{dr}{1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}}+V
\end{equation}

где V - задается начальными условиями для фотона. С другое стороны V можно
рассматривать как номер фотона, и если сделать V динамической переменной, тогда
получим замену координат

\begin{equation}
dt=\frac{dr}{1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}}+dV
\end{equation}

Подставим это в метрику~(\ref{reissnernordstrom})

\begin{equation}
ds^2=\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}\right)dV^2+2dV
dr-r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)
\label{eq:RNinEF}
\end{equation}

\item Запишем метрику~(\ref{eq:RNinEF}) через "нулевые тетрады"

\begin{equation}
g^{\mu\nu}=l^\mu n^\nu+l^\nu n^\mu-m^\mu \overline{m}^\nu-m^\nu\overline{m}^\mu
\label{metricsnulltetrad}
\end{equation}

которые удовлетворяют следующим соотношениям ($\overline{m}$ - комплексное
сопряжение $m$)

\begin{equation}
l_\mu l^\mu=m_\mu m^\mu=n_\mu n^\mu=0,~~l_\mu n^\mu=-m_\mu\overline{m}^\mu=1,~~l_\mu m^\mu=n_\mu
m^\mu=0
\end{equation}

Для метрики~(\ref{eq:RNinEF}) получаем

\begin{eqnarray}
l^\mu&=&\delta^\mu_1\\
n^\mu&=&\delta^\mu_0-\frac{1}{2}\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}\right)\delta^\mu_1\\
m^\mu&=&\frac{1}{\sqrt{2}r}\left(\delta^\mu_2+\frac{i}{\sin\theta}\delta^\mu_3\right)
\end{eqnarray}

Для краткости будем обозначать

\begin{equation}
Z^\mu_a=\left(l^\mu,n^\mu,m^\mu,\overline{m}^\mu\right),~~a=1..4
\end{equation}

\item Переходим в комплексную плоскость $x^\rho\rightarrow \tilde{x}^\rho$ (где $x^\rho$ - набор
координат $x^\rho=\left(V,r,\theta,\varphi\right)$) и, соответственно, переписываем тетрады

\begin{eqnarray}
Z^\mu_a(x^\rho)\rightarrow \tilde{Z}^\mu_a(\tilde{x}^\rho,\overline{\tilde{x}}^\rho)
\end{eqnarray}

но задаем два требования: если $x^\rho$ действительны, то преобразованные тетрады должны равняться
изначальным, и компоненты метрики должны оставаться действительными

\begin{equation}
\left.\tilde{Z}^\mu_a(\tilde{x}^\rho,\overline{\tilde{x}}^\rho)\right|_{\tilde{x}=\overline{\tilde{x}}}=Z^\mu_a(x^\rho)
\end{equation}

Такое преобразование явно неоднозначно, но для вывода метрики Керра-Ньюмана предлагается определенный его
вид

\begin{eqnarray}
l^\mu&\rightarrow&\tilde{l}^\mu=\delta^\mu_1\\
n^\mu&\rightarrow&\tilde{n}^\mu=\delta^\mu_0-\frac{1}{2}\left(1-2m\left(\frac{1}{\tilde{r}}+\frac{1}{\overline{\tilde{r}}}\right)+
\frac{q^2}{\tilde{r}\overline{\tilde{r}}}\right)\delta^\mu_1\\
m^\mu&\rightarrow&\tilde{m}^\mu=\frac{1}{\sqrt{2}\tilde{r}}\left(\delta^\mu_2+\frac{i}{\sin\tilde{\theta}}\delta^\mu_3\right)
\end{eqnarray}

Заметим, что есть нелогичность в преобразовании для $n^\mu$ - члены $\frac{2m}{r}$ и
$\frac{q^2}{r^2}$ были преобразованы совершенно различными способами.

\item Следующий шаг - преобразование координат $\tilde{x}\rightarrow x'\left(V',r',\theta',\varphi'
\right)$, которое задается следующим образом

\begin{equation}
\tilde{x}^\rho={x'}^\rho+i a \cos\theta'\left(\delta^\rho_0-\delta^\rho_1\right)
\end{equation}

Тогда наши вектора (тетрады) преобразуются следующим образом

\begin{equation}
{Z'}^\mu_a=\tilde{Z}^\nu_a\frac{\partial {x'}^\mu}{\partial\tilde{x}^\nu}
\end{equation}

Новые вектора в новых координатах выглядят следующим образом

\begin{eqnarray}
{l'}^\mu&=&{Z'}^\mu_1=\delta^\mu_1\\
{n'}^\mu&=&{Z'}^\mu_2=\delta^\mu_0-\frac{1}{2}\left(1-2m\left(\frac{1}{r'-ia\cos\theta'}+\frac{1}{\overline{r'}+ia\cos\overline{\theta'}}\right)+
\frac{q^2}{(r'-ia\cos\theta')(\overline{r'}+ia\cos\overline{\theta'})}\right)\delta^\mu_1\\
{m'}^\mu&=&{Z'}^\mu_3=\frac{1}{\sqrt{2}(r'-ia\cos\theta')}\left(ia\sin\theta'(\delta^\mu_0-\delta^\mu_1)+\delta^\mu_2+\frac{i}{\sin\theta'}\delta^\mu_3\right)
\end{eqnarray}

\item Возвращаемся назад, на действительную ось, т.е. кладем ${x'}^\rho=\overline{x'}^\rho$ и
получаем метрику по формуле~(\ref{metricsnulltetrad}). Здесь и далее для упрощения записи мы
опускаем штрихи

\begin{equation}
g^{\mu\nu}=
\left(
\begin{array}{cccc}
-\frac{a^2\sin^2\theta}{\rho^2}& 1+\frac{a^2\sin^2\theta}{\rho^2}& 0&-\frac{a}{\rho^2}\\
1+\frac{a^2\sin^2\theta}{\rho^2}&-\left(1-\frac{2mr}{\rho^2}+\frac{q^2}{\rho^2}\right)-\frac{a^2\sin^2\theta}{\rho^2}&
0 & \frac{a}{\rho^2}\\
0 & 0 & - \frac{1}{\rho^2} & 0\\
-\frac{a}{\rho^2} & \frac{a}{\rho^2} & 0 & -\frac{1}{\rho^2\sin^2\theta}
\end{array}
\right)
\end{equation}

где $\rho^2=r^2+a^2\cos^2\theta$. Обращая эту матрицу, находим метрику Керра в координатах Керра

\begin{equation}
g_{\mu\nu}=
\left(
\begin{array}{cccc}
1-\frac{2mr-q^2}{\rho^2}& 1 & 0 & a\sin^2\theta\frac{2mr-q^2}{\rho^2}\\
1 & 0 & 0 & -a\sin^2\theta\\
0 & 0 & - \rho^2 & 0\\
a\sin^2\theta\frac{2mr-q^2}{\rho^2}& -a\sin^2\theta & 0 &
-\sin^2\theta\left(r^2+a^2+a^2\sin^2\theta\frac{2mr-q^2}{\rho^2}\right)
\end{array}
\right)
\end{equation}

\item* Последний дополнительный шаг - преобразование метрики к координатам
Бойера-Линдквиста - координаты, которые переходят в Минковские на бесконечности.
Распишем явно метрику в координатах Керра

\begin{eqnarray}
  ds^2=\left(1-\frac{2mr-q^2}{\rho^2}\right)dV^2+2dV dr -\rho^2d\theta^2+
  2a\sin^2\theta\frac{2mr-q^2}{\rho^2}dV d\varphi-2a\sin^2\theta dr d\varphi-\nonumber\\
  -\sin^2\theta\left(r^2+a^2+a^2\sin^2\theta\frac{2mr-q^2}{\rho^2}\right)d\varphi^2
  \label{kerrkerr}
\end{eqnarray}

Переход к координатам Бойера-Линдквиста записывается следующим образом

\begin{equation}
  dt=dV+\frac{r^2+a^2}{\Delta}dr,~~~d\tilde{\varphi}=d\varphi+\frac{a}{\Delta}dr,~~
  \mbox{где}~\Delta=r^2-2mr+a^2+q^2
  \label{kerrtoBL}
\end{equation}

Чтобы легко осуществить эту подстановку сделаем преобразование в~(\ref{kerrkerr}), явно выделив
некоторые выражения

\begin{eqnarray}
  ds^2&=&\left(\frac{r^2-2mr+a^2+q^2}{\rho^2}-\frac{a^2\sin^2\theta}{\rho^2}\right)dV^2+
  2dV dr+\nonumber\\
  &&+
  \left(2a(r^2+a^2)\frac{\sin^2\theta}{\rho^2}-
  2a\sin^2\theta\frac{r^2-2mr+a^2+q^2}{\rho^2}\right)dV d\varphi-
  2a\sin^2\theta dr d\varphi-\nonumber\\
  &&-\rho^2d\theta^2+
  \left(\frac{r^2-2mr+a^2+q^2}{\rho^2}a^2\sin^4\theta-
  \frac{\sin^2\theta}{\rho^2}(r^2+a^2)^2\right)d\varphi^2
\end{eqnarray}

тогда можно перегруппировать члены

\begin{eqnarray}
  ds^2&=&\frac{\Delta}{\rho^2}\left(dV^2+\frac{\rho^4}{\Delta^2}dr^2+a^2\sin^4\theta
  d\varphi^2+2\frac{\rho^2}{\Delta}dV dr-2a\sin^2\theta dV d\varphi-
  2a\sin^2\theta\frac{\rho^2}{\Delta}dr d\varphi\right)-\nonumber\\
  &&-\frac{\sin^2\theta}{\rho^2}\left((r^2+a^2)^2d\varphi^2-2a(r^2+a^2)dV d\varphi
  +a^2dV^2\right)-\frac{\rho^2}{\Delta}dr^2-\rho^2d\theta^2
\end{eqnarray}

Легко заметить, что выражения в скобках - полные квадраты

\begin{equation}
  ds^2=\frac{\Delta}{\rho^2}\left(dV+\frac{\rho^2}{\Delta}dr-
  a\sin^2\theta d\varphi\right)^2-\frac{\sin^2\theta}{\rho^2}
  \left((r^2+a^2)d\varphi-a dV\right)^2-\frac{\rho^2}{\Delta}dr^2-\rho^2d\theta^2
\end{equation}

Теперь можно сделать подстановку~(\ref{kerrtoBL}) и получить конечное выражение

\begin{equation}
  ds^2=\frac{\Delta}{\rho^2}\left(dt-a\sin^2\theta d\tilde{\varphi}\right)^2-
  \frac{\sin^2\theta}{\rho^2}\left((r^2+a^2)d\tilde{\varphi}-a dt\right)^2-
  \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2-\rho^2 d\theta^2
\end{equation}

\end{enumerate}

\section{Свойства метрики Керра-Ньюмена}

Запишем метрику Керра в двух эквивалентных формах записи в координатах
Бойера-Линдквиста - одна форма сводится к другой после раскрытия скобок и
перегруппировки членов

\begin{equation}
ds^2=\frac{\Delta}{\rho^2}\left(dt-a\sin^2\theta d\varphi\right)^2-
\frac{\sin^2\theta}{\rho^2}\left((r^2+a^2)d\varphi-a dt\right)^2-
\frac{\rho^2}{\Delta}dr^2-\rho^2 d\theta^2
\label{KNform1}
\end{equation}

\begin{equation}
ds^2=\frac{\rho^2\Delta}{A}dt^2-\frac{A\sin^2\theta}{\rho^2}\left(d\varphi-
\frac{2mra}{A}dt\right)^2-\frac{\rho^2}{\Delta}dr^2-
\rho^2 d\theta^2
\label{KNform2}
\end{equation}

\begin{equation}
\rho^2=r^2+a^2\cos^2\theta,~~\Delta=r^2-2mr+a^2,~~A=(r^2+a^2)^2-a^2\Delta\sin^2\theta
\end{equation}

Покажем, что существует предел статичности. Пусть космический корабль висит на
некотором расстоянии от черной дыры Керра и не движется (в координатах БЛ),
тогда подставим в~(\ref{KNform1}) условия $dr=0,~d\varphi=0,~d\theta=0$, получим

\begin{equation}
ds^2=\frac{r^2-2mr+a^2\cos^2\theta}{\rho^2}dt^2
\end{equation}

Для того, чтобы увидеть - возможно ли такое движение, необходимо проверить
светоподобен или пространственно подобен интервал,
Знаменатель этого выражения всегда положителен, а числитель при больших r
положителен, но на некотором радиусе меняет знак. Этот радиус называется
внешней границей эргосферы

\begin{equation}
r_{+}=m+\sqrt{m^2-a^2\cos^2\theta}
\end{equation}

Оказывается, что на немного меньшем радиусе можно получить светоподобный
интервал, если сделать замену $d\varphi=d\tilde{\varphi}-\Omega dt$ и положить
$d\tilde{\varphi}=0$ - в новых координатах - такая замена
означает, что тело участвует во вращении, при этом оставаясь на постоянном
радиусе. Подставим замену уже в~(\ref{KNform2}) (для удобства)

\begin{equation}
ds^2=\left(\frac{\rho^2\Delta}{A}-\frac{A\sin^2\theta}{\rho^2}
\left(\Omega+\frac{2mra}{A}\right)^2\right)dt^2=
\left(\frac{\rho^4\Delta-4\sin^2\theta m^2 r^2 a^2}{\rho^2 A}-
\frac{\sin^2\theta}{\rho^2}\underbrace{\left[4mra\Omega+A\Omega^2\right]}_X\right)dt^2
\end{equation}

Найдем минимальное значение $X_{\mbox{min}}=-\frac{4m^2r^2a^2}{A}$. Это означает, что
меняя $\Omega$ мы можем добиться следующей максимальной светоподобности интервала

\begin{equation}
ds^2=\frac{\rho^2\Delta}{A}
\end{equation}

Это значит, что такое движение возможно при $\Delta>0$. Это означает, что все
тела при $r<r_+$ участвуют во вращении, индуцированном кривизной пространства.
Из этой области можно выскочить и улететь на бесконечность. При $\Delta=0$
находится горизонт событий этой черной дыры. Т.е. при $r<r_g$ неизбежно
падение на центр

\begin{equation}
r_g=m+\sqrt{m^2-a^2}
\end{equation}

\begin{thebibliography}{99}
  \bibitem{ll2} Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Том II ``Теория поля''
  \bibitem{Kerr} R. P. Kerr,~{\it Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically
      Special Metrics},~PhysRev Letters (1963), Vol. 11, Issue 5, p.237-238
  \bibitem{chandra2} С. Чандрасекар ``Математическая теория черных дыр''. Часть 2
  \bibitem{vergeles} С. Н. Вергелес ``Лекции по теории гравитации''
  \bibitem{NewmanJanis} E. T. Newman , A. I. Janis,~{\it Note on the Kerr Spinning-Particle
    Metric}, Journal of Mathematical Physics (1965), Vol. 6, p.915-917
  \bibitem{DrakeSzekeres} S. P. Drake, P. Szekeres,~{\it An Explanation of the Newman-Janis Algorithm}, gr-qc/9807001v1
\end{thebibliography}

\end{document}
