\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-node}
% % \SpecialCoor
\parindent=0pt
\pagestyle{empty}

%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{url}

\def\vc1{\frac{v}{c}}
\def\vc2{\frac{v^2}{c^2}}

%opening
\title{Семинар по релятивистской астрофизике. 03 апреля 2008}
\author{Рук. Блинников С.И.}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}

П.Бакланов. Опровержение ``теоремы'' Лапласа о скорости гравитации на
примере электродинамики. 

А.Толстов. О парадоксе близнецов. Картина звёздного неба при большом Лоренц-факторе.

С.Блинников. Первые слова о метрике Шварцшильда, о кривизне, о тензорах Римана и Риччи.


\end{abstract}


\section{П.Бакланов. Утверждение теоремы Лапласа }

В конце XVI века Ньютон открыл закон всемирного тяготения:
\begin{equation}
 \vec F = \frac{GMm}{R^3}\vec R
\end{equation}

Действия силы направленно по $\vec R$, точно от одного тела к другому, независимо от 
движения тел и взаимного расстояния между ними.


Позже, в конце XVII века,  Лаплас задался вопросом: ``Мгновенно ли передается притяжение от одного тела к другому?'' и исследовал его на системе Земля-Луна.

  Идея рассуждения Лапласа:

 если скорость гравитации конечна, то при движении гравитирующих тел меняется направление
 действия силы тяготения, аналогично эффекту аберрации при оптических наблюдениях. 
Тогда сила становится не центральной и возникающие возмущения делают орбиту Луны не устойчивой.
Аберрация пропорциональна ${v}/{c}$, значит и возмущения будут того же порядка.

Цитата из книги Лапласа "Изложение системы мира"(Л., Наука, 1982) взята с сайта противника ОТО :) 
( \url{http://www.veinik.ru/science/fizmat/article/150.html} ):

``Продолжительность его передачи, если бы она была для нас ощутима, обнаружилась бы главным
 образом в вековом ускорении движения Луны. Я предлагал таким способом объяснить наблюдаемое
 ускорение этого движения и нашел, что удовлетворить наблюдениям можно, лишь приписав силам
 тяжести скорость, в 7 000 000 раз большую скорости светового луча. Так как причина векового
 уравнения Луны в настоящее время хорошо известна, мы можем утверждать, что тяготение передается,
 по крайней мере, в 50 000 000 раз быстрее света. Поэтому, не боясь внести заметную ошибку, можно
 считать его распространение мгновенным.''


\subsection{Задача о движении точечного заряда}
 На семинаре была рассмотрена аналогичная задача про движение точечного заряда, только закон
 Ньютона  подменили законом Кулона. По форме эти законы очень похожи, а уравнения для вывода
 напряженности электрического поля проще, чем для гравитационного поля. 

\input{wpic_abb}
\par

%  Для точечного заряда, двигающегося по произвольной траектории  $\vec r_e=\vec r(t)$ было получено 
% выражение (\ref{eq:e}) для напряженности электрического поля (полный вывод дан в ЛЛ II \S\S62-63, см. вложение). 

Было показано, что если правильно учесть запаздывание, то с точностью до членов ${v}/{c}$ поле 
 от  точечного заряда, двигающегося по произвольной траектории  $\vec r_e=\vec r(t)$ совпадает с
 законом Кулона (полный вывод дан в ЛЛ II \S\S62-63, см. ниже).

 Поле $ \vec E$ имеет вид:
\begin{equation}
 \label{eq:e}
 \vec E = e\frac{ (1-\frac{{v'}^2}{c^2})(\vec R' - \vec v' \frac{R'}{c})}{(R'-\frac{\vec R' \vec v'}{c})^3} +
 \frac{e}{c^2(R'-\frac{\vec R' \vec v'}{c})^3}[\vec R'[(\vec R' - \frac{\vec v'}{\vec c} R')\dot {\vec {v'}}]]
\end{equation}
причем штрихи обозначают, что величины должны быть взяты в момент времени $t'$, связанный с
 текущим моментом $t$ через уравнение ${t'+{R'}/{c}=t}$.
 
Второе слагаемое пропорционально ${1}/{c^2}$ и следовательно при нашей точности $({v}/{c})$ его
 можно не рассматривать.

{\it Точнее, если $R_0$, скажем, есть радиус круговой орбиты, то 
$\dot {\vec {v'}}  \sim v^2/R_0 $ и во втором члене есть малось  $\sim({v}/c)^2$. На больших расстояниях,
 $R \gg R_0 c/v $, т.е. в волновой зоне, второй член начнёт преобладать из-за более медленного спадания
 с $R$, но нам сейчас это не интересно, у нас $R \sim R_0$. - СБ }

Первое слагаемое похоже на закон Кулона, только вместо $ \vec R$  стоит выражение вида $(\vec R' - \vec v' {R'}/{c})$. Если вспомнить, что $ \dot {\vec R} = - \vec v $, и переписать выражение как 
$$(\vec R' + \dot {\vec {R'}}\frac{R'}{c}) \; , $$
 то видно, что это просто разложение в ряд  $ \vec R(t)$ в момент  $t'$ с точностью до членов порядка
 ${1}/{c}$. 

При  равномерном и прямолинейном движении заряда $ \dot {\vec R} = -\vec v ={\rm const} $, то $ \vec R = \vec R' - \vec v' {R'}/{c}$ в точности. А значит $ \vec E$ направлено точно в истинное положение заряда ( $ \vec R$ в момент  $t$). Можно показать, что и выражение в знаменателе с точностью до членов $(v/c)^2$ равно $R$ (см.  ЛЛ II \S63, в конце параграфа).

\subsection{ Почему $ \vec v = - \dot {\vec R} $ }

Согласно выбранным направления векторов, см. рис.1.,  $ \vec {r_e} + \vec R = \vec {r_P}$. 
Отсюда  $ \vec R = \vec {r_P} -\vec {r_e} $. 
Дифференцируя, получим равенство $ \dot {\vec R} = - \vec v $, полагая $ \vec v = \dot{\vec r_e}$.



\subsection{ Вывод формулы (\ref{eq:e})   из ЛЛ II \S63}
%
%\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
%\epsfxsize=1.2\textwidth
%\hbox to0.53\textwidth{\hss\epsfbox{ll_216_1.ps}\hss}
%\end{wrapfigure}
%\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
%\epsfxsize=1.2\textwidth
%\hbox to0.53\textwidth{\hss\epsfbox{ll_217_1.ps}\hss}
%\end{wrapfigure}
\vglue -2cm
\begin{figure}
\epsfxsize=.99\textwidth
\centering{\epsfbox{ll_216_1.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}

\begin{figure}
\epsfxsize=.99\textwidth
\centering{\epsfbox{ll_217_1.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}

\begin{figure}
\epsfxsize=.75\textwidth
\centering{\epsfbox{LL218.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}

\newpage

\emph{Итак, эффекта аберрации порядка $v/c$ в кулоновской силе нет. 
Конечно, если заряд резко сойдёт с прямой или круговой орбиты, за счёт 
резкого включения какого-нибудь реактивного двигателя, то наблюдатель узнает
об этом только через время $R/c$ благодаря большому ускорению во
втором члене в (\ref{eq:e}). В таком случае, естественно, 
кулоновская сила уже не ``смотрит'' в ту точку, где реально ``сейчас'' находится заряд. - СБ}


\end{document}
