\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}
\input lecdefs

%opening
\title{Семинар по релятивистской астрофизике. 13 марта 2008}
\author{Рук. Блинников С.И.}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}

Парадоксы СТО.

Опровержение ``теоремы'' Лапласа о скорости гравитации на
примере электродинамики. 

\end{abstract}


\section{Преобразование Лоренца}

Пусть есть две  лоренцевых системы отсчёта $S$ и $\tilde{S}$.
Чаще всего в книжках по СТО вторую систему обозначают $S' $ и называют ``штрихованной'',
но тогда и координаты во второй системе надо помечать штрихом, а это неудобно
в ОТО, где мы часто будем писать $x', \; t'$ и т.п. для производных $x,  \; t$ по пространственной переменной. 
Поэтому здесь я использую тильду $\tilde{S}$.
При равномерном движении тела отсчёта  $\tilde{S}$ вдоль оси $x$ со скоростью $v$
относительно  $S$ координаты связаны так:
$$
  \tilde x = \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}},  \quad   \tilde t = \frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}, 
\quad \tilde y = y, \quad \tilde z =z \; .
$$
Тут принято $c=1$.
Это преобразование оставляет интервал
$$
 d s^2=c^2\,dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2
$$
инвариантным.

Ниже будем писать Лоренц-фактор
$$
\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \; .
$$

\newpage

На рисунке красная линия показывает график $\tilde x=0$ -- 
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\epsfxsize=0.5\textwidth
\hbox to0.53\textwidth{\hss\epsfbox{lor03.ps}\hss}
\end{wrapfigure}
так выглядит ось времени системы $\tilde{S}$
в системе ${S}$, а синяя линия -- график $\tilde t=0$ в координатах $(t,x)$ 
при таком преобразовании, когда $v=0.3c$ .
Вводя ``быстроту'' (rapidity) $\th u=v/c=v$ можно преобразование Лоренца записать и так
$$
  \tilde x =  x\ch u - t \sh u ,  %\quad  
$$
$$
 \tilde t = t\ch u - x\sh u . 
%\quad \tilde y = y, \quad \tilde z =z \; .
$$
В общем случае мы пишем интервал через метрический тензор  $g_{ik}$, зависящий от 4-координат:
\begin{equation*}
  ds^2=\sum_{i,k=0}^3 g_{ik}(x)\,dx^idx^k \equiv
  g_{ik}(x)\,dx^idx^k,
 \end{equation*}
причём $g_{ik}=g_{ki}$ (суммирование по повторяющимся индексам).
В случае СТО $g_{ik} \equiv \eta_{ik} \equiv \mbox{diag} (1, -1, -1, -1)$.
Такой способ предпочтительней, чем введение мнимой единицы (переход к мнимому
времени $t \rightarrow it$), сделанный Пуанкаре ещё за несколько лет до Минковского.
Однако введение мнимой единицы и координаты $x^4 \equiv it$ вместо $t$ помогает представить последнее преобразование просто как поворот на угол $u$ в осях $x, x^4$.
Имеем $\ch iu = \cos u$  и $\sh iu = i \sin u$, тогда
$$
  \tilde x =  x\ch u - t \sh u = x  \cos u - x^4\sin u  ,  %\quad  
$$
$$
 \tilde t = t\ch u - x\sh u = t \cos u -i x\sin u . 
$$
т.е.
$$
\tilde{ x^4}=i \tilde t = it\ch u - ix\sh u = x^4 \cos u + x\sin u . 
$$
Чисто лоренцeво преобразование (без пространственных поворотов $S$ к $\tilde S$) называют
`буст' (boost).
Введение поворота на мнимый угол $iu$ может быть полезно при графическом представлении
общего преобразования Лоренца -- бустов совместно с реальными поворотами -- при выводе
генераторов группы Лоренца при малых углах и т.п.
Вряд ли введение мнимости целесообразно в общем случае, а метрика $g_{ik}$ работает всегда,
и в СТО и ОТО.
А применять быстроту в нужных случаях удобно  и без перехода к мнимому времени.
Например, при выводе закона сложения двух скоростей $v_{x1}$ и $v_{x2}$ в СТО достаточно просто сложить две быстроты $u_{x1}+u_{x2}$. Суммарная скорость $v={\rm Arth}(u_{x1}+u_{x2})$.

\newpage

\section{Сокращение длины и замедление времени}
\label{sec:lorsh}

Пусть стержень  собственной 
длины $L_0$ лежит в покое в $S$: левый конец при $x=0$, правый -- при  $x=L_0$.
Мировая линия 
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\epsfxsize=0.5\textwidth
\hbox to0.53\textwidth{\hss\epsfbox{lorL03.ps}\hss}
\end{wrapfigure}
левого конца совпадает с осью $t$, а правого показана на рисунке
пунктирной линией. Видно, что когда
у левого конца стержня  в системе $S$ координаты $x_0=0$, $t_0=0$,  в системе  $\tilde S$ 
тот же конец  имеет координаты $ \tilde x_0=0$, $\tilde t_0=0$, а в мировой точке правого
конца при $t_0=0$ в  $S$, часы системы  $\tilde S$ показывают ещё отрицательное время
$\tilde t_1 = {-vL_0} /{\sqrt{1-v^2}}=-vL_0\gamma$.
Чтобы узнать длину $L$ в системе  $\tilde S$ нужно знать координаты концов в один момент, например,
при $\tilde t_0=0$.

Из $\tilde t = (t-vx_1)\gamma$ это соответствует  $t=vL_0$, тогда  получаем лоренцeво сокращение в
$\gamma$ раз:
$$
L=\tilde x_1-\tilde x_0 = (x_1-vt)\gamma = (L_0-v^2L_0)\gamma=L_0(1-v^2)\gamma=L_0/\gamma \; .
$$
На самом деле всё проще, если сразу написать обратное преобразование Лоренца
$$
   x = {(\tilde x+v\tilde t)}{\gamma},  \quad   t = {(\tilde t+v\tilde x)}{\gamma}\; ,
$$
откуда для какого-то момента $\tilde t$
$$
   x_0 = {(\tilde x_0+v\tilde t)}{\gamma},  \quad    x_1 = {(\tilde x_1+v\tilde t)}{\gamma}\; .
$$
Моменты времени $t$ в системе $S$ тут разные, но $x_1, \;  x_0$ всё равно не меняются, так
что вычитание $x_1-x_0$ даёт $L_0=L\gamma$ и $L=L_0/\gamma$.

Аналогично, для промежутка времени   $\Delta\tilde t$
по часам, покоящимся при каком-то $\tilde x$ в системе $\tilde S$ получаем, что
по часам в $S$ промежуток времени дольше в $\gamma$ раз:
$$
      t_b-t_a = \Delta t = \Delta\tilde t\gamma \; .
$$


\newpage

\section{Первые парадоксы}
\label{sec:prdxI}

Мы обсудили простейшие парадоксы СТО. Например, один из них, известный
под названием ``бегун с копьём'', он же ``шест и сарай'',
он же ``карандаш и пенал'', он же ``гоночный автомобиль и гараж'', разобрал
Семён Глазырин.
Условие парадокса в том, что стержень собственной длины, к примеру, 10 м можно поместить в сарай
длиной 5 м, если Лоренц-фактор стержня относительно покоящегося сарая
$\gamma>2 $. 
Когда шест попадёт в сарай (или авто в гараж) за ним можно захлопнуть дверь до
того, как это тело пробьёт противоположную от входа стенку. 
Пусть вход слева, а стенка справа.
Т.е. шест на какое-то время поместится в сарае целиком.
Но с точки зрения бегуна с копьём/шестом сарай сократится в $\gamma$ раз и 10-метровое
тело никак не уместится в сарае длиной меньше 2.5 м.

Суть решения этого парадокса в относительности одновременности: в системе отсчёта шеста
дверь за ним захлопнется гораздо позже того момента, когда его передний конец  пробьёт
правую стенку.
Чтобы всё проанализировать, тут достаточно нарисовать две диаграммы $x, t$ -- вроде тех, что были
на предыдущих страницах: одну в системе стержня, другую в системе гаража.

Гораздо сложнее анализ времени будет в случае, если бегун или водитель авто сумел затормозить
до того, как передний край пробил правую стенку. 
А дверка слева за ним уже закрылась (в системе гаража).
Стоящий автомобиль не может в гараже поместиться, он будет сложным образом
деформироваться, выбивая левую стенку, ускорения разных точек будут разными.
Мы знаем, что ускорения эквивалентны гравитации, и все часы в разных точках будут
идти по-разному.

В следующий раз мы рассмотрели близкий парадокс о стержне собственной длины $L_0$,
в лаб. системе, летящий влево со скоростью $v_x$ параллельно плоскости, поднимающейся
со скоростью $v_y$.
На плоскости есть отверстие диаметром  $L_0$ и всё рассчитано так, что
стержень (сжатый лоренцевым сокращением) проходит через отверстие.
В системе отсчёта стержня сжато отверстие. Как же стержень может пройти через
отверстие в своей системе отсчёта?

\section{Магнитное поле как релятивистский эффект}

Обычно преобразования Лоренца выводят, следуя постулату
постоянства скорости света и принципу относительности.
Современный подход к выводу преобразований Лоренца (без постулата о скорости
света) см. в интереснейшей работе З.Силагадзе %\newline
{\tt http://arxiv.org/abs/0708.0929} .
Там же изложено много нетривиальных для физики исторических фактов.
В частности, этот ``современный'' подход был открыт почти 100 лет назад.

Однако можно и преобразования Лоренца тоже принять за постулат.
Вернее: их можно обосновать из эксперимента, если учесть, что уже полвека
назад появились цезиевые часы, эффект Мёссбауэра, которые позволили измерить
релятивистский эффект замедления времени в $\gamma=1/\sqrt{1-v^2}$ раз.

\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
\epsfxsize=0.5\textwidth
\hbox to0.53\textwidth{\hss\epsfbox{Blor.ps}\hss}
\end{wrapfigure}
А релятивистский эффект лоренцева сокращения (или Фицжеральда) реально ``наблюдали''
уже в начале 19-го века, когда открыли силу Ампера -- между проводниками с током.
На верхнем рисунке изображен проводник в системе, где он покоится и нейтрален.
Большие синие шарики -- ионы, маленькие красные -- электроны.
На положительный заряд $q$ действует сила Лоренца $F$, которая и объясняет силу Ампера.
При выбранном направлении тока электроны движутся влево.

Перейдём в систему отсчёта, где  $q$  покоится (нижний рисунок). 
Силу Лоренца он там не чувствует.
Но ускорение должно остаться.
Оно может быть вызвано только электрическим полем, а поле создано
отрицательным зарядом, возникшим на проводнике.
Дело в том, что лоренцeво сокращение расстояния между электронами сильнее,
чем между ионами, так как скорость их в системе $\tilde S$  больше, чем у ионов.

Так преобразования Лоренца для пространства-времени приводят к физическому
обоснованию преобразования Лоренца для электрического и магнитного поля.
Эти последние преобразования можно вывести и вполне формально:
все 4-векторы, в том числе и $(\varphi, \mathrm{A})$ для потенциала преобразуются
как $(dt, \mathrm{dx})$.
Пётр Бакланов начал с помощью этих преобразований разбирать 
``теорему'' Лапласа об ``аберрации'' при распространении кулоновского 
взаимодействия.
Продолжим на следующих занятиях.

\end{document}
