\documentclass[preprintnumbers,amsmath,amssymb]{revtex4}
\usepackage{graphicx}% Include figure files
\usepackage{dcolumn}% Align table columns on decimal point
\usepackage{bm}% bold math
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage{feynmp}

\def\Div{\mathop{\rm div}}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}}

\begin{document}

\title{Постньютоновское приближение}

\author{С.И. Глазырин}

\maketitle

Приведем краткое описание и конечные выражения для постньютоновского
приближения. Подробный вывод можно найти в \cite{Weinberg} (в книге имеются
некоторые опечатки, поэтому привожу здесь корректные формулы\footnote{
При чтении книг следует обратить внимание, что в Вайнберге другой знак в
определении тензора Римана чем в Ландау-Лифшице, следовательно и другой знак в
правой части уравнений Эйнштейна. Формулы, приведенные здесь универсальны.}).
Постньютоновское приближение - это разложение по малой скорости $v$. Заметим,
что потенциал имеет порядок $v^2$. Нас интересует разложение до 4ого порядка.
Тогда метрика записывается так

\begin{equation}
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+g_{\mu\nu}^{(1)}+g_{\mu\nu}^{(2)}+g_{\mu\nu}^{(3)}+g_{\mu\nu}^{(4)}+...
\end{equation}

где $g^{(N)}\sim v^N$ ($\eta=\mbox{diag}[-1,1,1,1]$). Аналогично $T^{\mu\nu~(N)}$ - член порядка $M v^N/L^3$.
Здесь мы считаем, что у нас заданы характерные размеры изменения параметров $L$
и характерные массы $M$ создающих гравитацию тел.

Тогда мы получаем интересующие нас компоненты (здесь использованы так называемые
гармонические координаты $g^{\mu\nu}\Gamma_{\mu\nu}^\lambda=0$)

\begin{eqnarray}
g_{00}^{(2)}&=&-2\phi\\
g_{00}^{(4)}&=&-2\phi^2-2\psi\\
g_{oi}^{(3)}&=&\xi_i\\
g_{ij}^{(2)}&=&-2\delta_{ij}\phi
\end{eqnarray}

где

\begin{eqnarray}
\phi&=&-G\int d^3 x'\frac{T^{00~(0)}({\bf x'},t)}{|{\bf x}-{\bf
x'}|},\\
\xi_i&=&-4G\int d^3 x'\frac{T^{0i~(1)}({\bf x'},t)}{|{\bf x}-{\bf
x'}|},\\
\psi&=&-\int \frac{d^3 x'}{|{\bf x}-{\bf
x'}|}\left(\frac{1}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial
t^2}+GT^{00~(2)}+GT^{ii~(2)}\right)
\end{eqnarray}

Уравнение движения пробной частицы

\begin{equation}
\frac{d^2 {\bf x}}{dt^2}=-\nabla(\phi+2\phi^2+\psi)-\frac{\partial{\bf\xi}}{\partial
t}+{\bf v}\times(\nabla\times{\bf\xi})+3\frac{\partial\phi}{\partial t}{\bf v}+4{\bf
v} ({\bf v}\nabla)\phi-v^2\nabla\phi
\end{equation}

Т.к. при написании этого уравнения использованы специальные координаты, то надо
связать время с собственным временем частицы

\begin{equation}
\frac{d\tau}{dt}=1+\phi-\frac{1}{2}v^2+\psi-{\bf
v\xi}+v^2\phi+\phi^2-\frac{1}{8}(2\phi-v^2)^2
\end{equation}

Запишем также уравнения постньютоновской гидродинамики идеальной жидкости

\begin{equation}
T^{\mu\nu}=(p+\rho)u^\mu u^\nu +p g^{\mu\nu},~~p=p(\rho)
\end{equation}

Уравнения

\begin{equation}
T^{\mu\nu}_{~~;\nu}=0
\end{equation}

\begin{eqnarray}
T^{00}&=&T^{00~(0)}+T^{00~(2)}=\rho(1-2\phi+v^2)\\
T^{i0}&=&T^{i0~(1)}+T^{i0~(3)}=v^i(\rho+p-2\phi\rho+v^2\rho)\\
T^{ij}&=&T^{ij~(2)}+T^{ij~(4)}=p\delta^{ij}(1+2\phi)+v^i
v^j(\rho+p-2\phi\rho+v^2\rho)
\end{eqnarray}

Сначала решаем обыкновенные уравнения гидродинамики

\begin{eqnarray}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(\rho {\bf v})=0,\\
\frac{\partial}{\partial t}(\rho{\bf v})+\nabla(\rho {\bf v v})=-\nabla
p-\rho\nabla\phi,\\
\nabla^2\phi=4\pi G\rho
\end{eqnarray}

из них находим $\phi,\xi^i,\psi$ и уже решаем постньютоновские уравнения с этими
постоянными полями

\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial
t}\left(\rho(1-2\phi+v^2)\right)+\nabla\left(
{\bf v}(\rho+p-2\phi\rho+v^2\rho)
\right)=\rho\frac{\partial\phi}{\partial
t},\\
\frac{\partial}{\partial
t}\left({\bf v}(\rho+p-2\phi\rho+v^2\rho)\right)+\nabla\left(
{\bf v v}(\rho+p-2\phi\rho+v^2\rho)
\right)=-\nabla(p(1+2\phi))-\rho\nabla(\phi+2\phi^2+\psi)-\nonumber\\-\rho\frac{\partial{\bf\xi}}{\partial
t}-\rho(v^2-2\phi)\nabla\phi+\rho {\bf v}\times(\nabla\times{\bf v})+4\rho{\bf
v}\frac{\partial\phi}{\partial t}+p\nabla\phi-\rho v^2\nabla\phi+4\rho{\bf
v}({\bf v}\nabla)\phi
\end{eqnarray}

Отсюда находим $\rho,p,{\bf v}$.

\begin{thebibliography}{99}
  \bibitem{Weinberg} С. Вайнберг, Гравитация и Космология
\end{thebibliography}

\end{document}


