\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-node}
% % \SpecialCoor
\parindent=0pt
%\pagestyle{empty}

%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[cp 1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{url}

\def\msun{M_\odot}
\def\Msun{$\msun$}
\def\rsun{R_\odot}
\def\Rsun{$R_\odot$}

\def\be{\begin{eqnarray}}
\def\ee{\end{eqnarray}}


\def\wfignc#1#2{% nocaption
\begin{wrapfigure}{#1}{0.5\textwidth}
\epsfxsize=0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{#2}\hss}
\end{wrapfigure}
}



%differentials
\renewcommand{\d}[1]{\;\textsf{d}#1}
\newcommand{\pd}[1]{\partial #1}
\newcommand{\D}{\;\textsf{D}}

%dot and double dot for D_t en D_t^2
\newcommand{\dt}[1]{\dot{#1}} %dot notation for d/dt
\newcommand{\dtt}[1]{\ddot{#1}} % double dot notation for d^2 / dt^2

%accent (acute) for D_s and D_s^2
\newcommand{\ds}[1]{#1 \acute{}\,} % accent notation for d/ds
\newcommand{\dss}[1]{#1 \acute{}\, \acute{}\,} % double accent notation for d^2 / ds^2

%accent notation for arbitrrary derivative of order 1 or 2
%\newcommand{\dx}[1]{#1 \grave{}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dx}[1]{ \grave{#1}\,} % accent notation for arbitrary d / dx
\newcommand{\dxx}[1]{ #1 \hspace*{-0.6em} \raisebox{.8ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}} % double accent 
\newcommand{\dxxa}[1]{ #1  \hspace*{-0.3em} \raisebox{.4ex}{$ \grave{} \; \grave{}\,$}}% double accent for one symbol
%\newcommand{\dxx}[1]{ \raisebox{-.8ex}{$#1$} \hspace*{-0.6em} \grave{} \; \grave{}\,} % double accent notation for d^2 / dx^2

%opening
\title{Семинар по релятивистской астрофизике. 10 апреля 2008}
\author{Рук. Блинников С.И.}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}


С.Блинников. Геодезический лагранжиан. Орбиты в метрике Шварцшильда.

Н.Дунина. Замечание о червоточинах (wormholes).

\end{abstract}

Ниже будет смесь текстов на русском и английском: не всё успели перевести из разных
источников. Но в этом есть даже своя польза -- можно учить термины на обоих языках.

\section{Геодезические}

В искривленном пространстве любой размерности можно определять геодезическую как  кривую, дающую экстремум расстояния между двумя точками:
$$
 l_{AB}=\int\limits^{\xi_B}_{\xi_A}\; ds \; ,
$$
 -- на геодезической длина $l_{AB}$ есть экстремум  по всем путям (траекториям, paths) $\xi(\lambda)$ 
из $A$ в $B$.
Здесь $\xi$ -- набор всех координат точки на кривой, а  $\lambda$  -- параметр,
описывающий положение точки  $\xi(\lambda)$.
Конечно, не только минимум длины может соответствовать геодезической.
Например, между двумя  точками на поверхности шара, т.е. на 
2D-сфере: одна дуга большого круга даёт геодезическую с кратчайшей длиной
(почти отрезок прямой, если точки близки), а другая дуга того же круга -- это
геодезическая с максимальной длиной среди всех дуг окружностей на сфере с концами
в  $A$ и $B$. 
Но она же меньше по длине других путей, которые вокруг неё могут обвиваться.
Т.е. уже в таком простейшем случае геодезическая - это нетривиальный экстремум.
А в мире, т.е. в 4D spacetime, всё ещё сложней из-за псевдоевклидовости.
Для времениподобных путей (т.е. $ds>0$ в нашей сигнатуре $+---$)
геодезическая обычно -- это {\it максимум}  собственного времени (тот близнец, который
живет на Земле и остаётся на геодезической, затратит больше собственного времени
до встречи со своим ускоренным братцем, который улетает и возвращается на ракете).

Итак, мы имеем вариационную  задачу
$$
   \delta l_{AB}[\mbox{путь}] = 0 
$$
для такого функционала: 
\begin{equation*}
  l_{AB}[\mbox{путь}] = \int_A^B ds = \int_A^B \sqrt{L(\lambda)}  d\lambda,
\end{equation*}
где, выразив $ds$ через параметр $\lambda$, мы ввели
$$
  L(\lambda)\equiv g_{ik} {{dx^i}\over{d\lambda}} {{dx^k}\over{d\lambda}}.
$$
Нередко обозначают для краткости
$$
  \dot{x^k} \equiv {{dx^k}\over{d\lambda}}
$$
так как часто можно принять $\lambda$  равным времени (а в 4D мире
мы будем проводить расчёты для времениподобных путей 
-- тогда параметр $\lambda$ может быть собственным временем $\tau$).
Но пока $\lambda$ -- произвольный параметр, кроме того,
может появиться путаница с производной по координатному времени $t$.
Поэтому попробуем другое обозначение:
$$
  \grave{x^k} \equiv {{dx^k}\over{d\lambda}}
$$

Ясно, что $l_{AB}$ не меняется при заменах $\lambda \rightarrow \lambda(\tilde\lambda)$.
Пользуясь этой свободой можно подобрать такой параметр, что 
$L(\lambda)={\rm const}(\lambda) $.
Так будет, например, если взять за параметр $\lambda$ длину вдоль пути
(или собственное время массивной частицы в 4D-мире).
После этого условие постоянства $L(\lambda)$ сохранится и при замене
$\lambda \rightarrow C\tilde\lambda +D $,
т.е. при аффинных преобразованиях, только const изменится.
Поэтому такое $\lambda$ называют аффинным параметром.




To find an extremal let us look how the length $l_{AB}$ changes for small
variations of the path.
To search for geodesics (i.e. paths with extremum distance), we will do the usual calculus of variations 
treatment to seek extrema of the functional $l_{AB}[\mathrm{path}]$.

We want to consider the change in the length $\delta l_{AB}$ %(or proper time)
under infinitesimal variations of the path,
\begin{eqnarray*}
  x^i &\rightarrow & x^i+\delta x^i\cr
  g_{ik} &\rightarrow & g_{ik} + \delta x^m\partial_m g_{ik}  \ .
\end{eqnarray*}
Here
$$
  \partial_m g_{ik} \equiv\frac{\partial  g_{ik}}{\partial x^m}
$$
We consider first the variation $\delta L$,
$$
 \delta L = 2g_{ik} \grave {x^i} \delta\grave {x^k}
 + \partial_m g_{ik} \delta x^m \grave {x^i}\grave {x^k},
$$
then
$$
 \delta\sqrt{L}=\frac{\delta L}{2\sqrt{L}}
$$
and now let us use the freedom of choosing the
parameter $\lambda$ and take it such that for the original, undisturbed, path $L=1$.
Then the extremum condition for length
$l=\int_a^b ds = \int_a^b \sqrt{L} d\lambda $ is equivalent
to getting extremals from the action
$$
  S=\int_a^b L d\lambda .
$$

Докажем это построже. Нужно найти решения вариационной задачи
$$
   \delta l_{AB}[\mbox{путь}] = \delta \int_a^b \mathcal{L}  d\lambda,
$$
где $\mathcal{L} \equiv \sqrt{L}$. 
Уравнения Эйлера-Лагранжа для этой задачи
$$
    \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \grave{ x^m}}\right)
    -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^m} = 0.
$$
Подставим $\mathcal{L} = \sqrt{L}$:
$$
    \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{2\sqrt{L}} \frac{\pd {L}}{\pd \grave{ x^m}}\right)
    -\frac{1}{2\sqrt{L}}\frac{\pd {L}}{\pd x^m} = 0.
$$
т.е.
$$
   -\frac{1}{2L}  \frac{d\sqrt{L}}{d\lambda} \frac{\pd {L}}{\pd \grave{ x^m}} 
+ \frac{1}{2\sqrt{L}}\left(\frac{d}{d\lambda} \frac{\pd {L}}{\pd \grave{ x^m}}
    -\frac{\pd {L}}{\pd x^m}\right) = 0.
$$

Но
$$
\frac{d\sqrt{L}}{d\lambda} = \frac{d \grave{s} }{d\lambda}, \quad \mbox{причём} \quad  
\grave{s} = \frac{d s}{d\lambda} = C \; ,
$$
где $C$ -- та самая константа, которая возможна в переопределении аффинного параметра
(и которая равна 1, если $\lambda$ есть просто длина пути).
Но производная от константы всегда нуль, значит ${d\sqrt{L}}/{d\lambda} = 0$ и
$$
    \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\partial L}{\partial \grave{ x^m}}\right)
    -\frac{\partial L}{\partial x^m} = 0.
$$

Т.е. действительно, всё сводится к поиску экстремалей для ``действия''
$$
  S=\int_a^b L d\lambda \; ,
$$
они и будут геодезическими. 
Чтобы их найти, часто не нужно решать уравнения Эйлера-Лагранжа (ELE, Euler-Lagrange Equations)
этой вариационной задачи -- нередко оказывается, что интегралы этих уравнений очевидны.
Будем помечать $L$ для геодезических индексом $s$ и называть $L_s$ \emph{геодезическим лагранжианом}.

Важно заметить, что при вариации путей (траекторий) мы описываем их разными
функциями $x^i(\lambda)$, функции варьируются, но параметр $\lambda$ -- нет.
Ещё заметим, что для нулевых геодезических (для путей фотонов) длина дуги $s$ не может
быть параметром, ведь $ds=0$, и вариационный принцип $ \delta \int_A^B ds = 0$ для них
не имеет смысла, а принцип  $ \delta \int_A^B L_s d\lambda = 0$ вполне справедлив.
Нужно только выбрать осмысленный параметр вдоль траектории фотона, например,
такой, что $dx^i/d\lambda=\nu^i(\lambda)$ -- параллельно переносимый вдоль пути
касательный вектор, например, такой как 4-импульс.
Такой параметр называют {\it каноническим}, его можно получить, сначала взяв другой
параметр, например, 3D-длину вдоль искривленного луча света, а потом перенормировать.
Пока не будем в это углубляться.
Из геодезического лагранжиана всё и так получится волшебным образом.

%This is already enough to find geodesics.
%In many cases one does not have to solve the ELE -- their
%integrals are often obvious.


Например,  в плоском евклидовом пространстве с метрикой $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ имеем
$$
  L_s={\grave x}^2+{\grave y}^2+{\grave z}^2,
$$
здесь $L_s$ явно не зависит от $x,y,z$, так что
$$
 \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\partial L_s}{\partial \grave{ x^m}}\right)=0 \quad \Rightarrow
 \quad \frac{\partial L_s}{\partial \grave{x^m}}={\rm const},
$$
и мы сразу получаем 3 интеграла $\grave x={\rm const}=u_1$, для $x$,
и  $u_2$, $u_3$ для $y$, $z$ соответственно.
При этом из условия экстремума длины мы получили условие постоянства
направления касательной к геодезической. Это же  верно в общем случае
(экстремали длины являются и линиями неизменного направления).
Следовательно,
$$
 x=a_1+u_1\lambda, \quad  y=a_2+u_2\lambda, \quad  z=a_3+u_3\lambda,
$$
а это просто прямая с параметром $\lambda$.


We can do this in 4D spacetime, when the flat space is not already Euclidean, it
is a Minkowskian space.
Yet everything is quite analogous if we properly treat the curves inside the
light cone (time-like ones), outside it (space-like ones) and on the light cone
(null geodesics).
The Lorentz invariant interval is
$$
 s^2=c^2\,t^2-x^2-y^2-z^2,
$$
or, for small displacements,
$$
 d s^2=c^2\,dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.
$$
%For boosts with speed $u$, that is transforming coordinates into the reference
%frame moving along, e.g.,  $x$ axis with  speed $u$,
%time $t$ must be also changed,
%$$
% t'=\frac{t-\beta x/c}{\sqrt{1-\beta^2}},
%$$
%with $\beta=u/c$.
This pseudo-Euclidean metric (since the sign of $dt^2$ is opposite to that of
$dx^2$, $dy^2$, $dz^2$) is flat. 
In general case it may be  ``curved'', if the metric tensor $g_{ik}$
depends on space and time coordinates in a special way:
\begin{equation*}
  ds^2=\sum_{i,k=0}^3 g_{ik}(x)\,dx^idx^k \equiv
  g_{ik}(x)\,dx^idx^k,
 \end{equation*}
with $g_{ik}=g_{ki}$.
Let us consider a very important example of such curved space.
%(summation over repeated indexes).

In a curved space we do not have a simple straight line, but we can
find analytic solutions for geo\-de\-sics even in a nontrivial case of a black hole.
%write down a differential equation for a geodesic.


\section{Schwarzschild metric}

Let us imagine that GR is not yet developed, but the idea of curved space,
and motions on geodesics in the spacetime is tested by modern experimental
equipment.
{\small Actually, when Loba\-chev\-sky discovered the first non-Euclidean geometry,
early in XIX century in Russia, he already tried to measure the deviations from
Euclid using geodesic terrestrial and astronomical observations, but the accuracy of the equipment in those
days was far too low to find anything significant.}
Modern experiments on measuring distances and time on Earth and in Solar system
show that the metric of 4D-spacetime is not exactly  Minkow\-skian,
\begin{equation*}
  ds^2 = c^2dt^2 - {dr^2}- r^2 d\Omega^2\ ,
\end{equation*}
in spherical coordinates centered on a spherical gravitating body (Earth or Sun),
but with high accuracy it can be written as
\begin{equation*}
  ds^2 = \left(1-\frac{r_g}{ r}\right)c^2dt^2 -
\frac{dr^2}{\left(1-{r_g/ r}\right)} - r^2 d\Omega^2\ .
\end{equation*}
where $r_g$ is some constant.
{\small
In both cases the angular part of $ds^2$ is quite the same \emph{by definition},
$r^2 d\Omega^2 \equiv r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\;d\varphi^2)$. 
This means that
we use our yardsticks (based on radars or lasers and atomic clocks) in such a
way, that we measure not the radial distance $r$ to the gravitating center
directly, but we measure first {\em circumferences} of length $\ell=2\pi r$.
What is found then for the radial distance (i.e. for $d\theta=0, \;
d\varphi=0$) at fixed time  (i.e. for $dt=0$) {\em with the same yardsticks}
is not $d\ell/(2\pi)$, as it
should be in Euclidean space, it is not $dr$, but $dr/\sqrt{1-{r_g/ r}}$.
%Kip Thorne transp.
E.g. the physical distance between Mars and Earth is a bit larger than $\int dr$ gives
(experiments by I.Shapiro et al.).

We can find the constant $r_g$ in a following way.
The metric is {\em asymptotically flat}, it
becomes progressively Minkowskian as we go to $r \to \infty$.
%$g_{ik} \to \eta_{ik} \equiv \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$.
So our $L = g_{ik}\grave{x^i}\grave{x^k}$ tends to $L \to g_{00}c^2 - \mathbf{u}^2$
if we take the parameter $\lambda$ simply as time $t$.
For a particle in the Newtonian potential $\phi$ the Lagrangian is
$\frac{1}{2}m\mathbf{u}^2-m\phi$, so our $L$ will give the same
trajectory for the particle if
$$
 g_{00} \simeq 1 + \frac{2\phi}{c^2} \quad \mbox{and for} \quad
    \phi=-\frac{GM}{r}.
$$
Note that from ELE with $L = c^2+2\phi - \mathbf{u}^2$ we get of course
the Newton's equation of motion
$$
   \ddot{\mathbf u}=-\nabla\phi,
$$
but do not forget that this is a {\em geodesic} in 4D spacetime.

\wfignc{r}{parab.ps}
E.g. in the constant gravity with acceleration $g$ we can take $\phi=gz$
and get the famous parabola for gun bullets:
$$
  z=z_0 + u_0 t - \frac{gt^2}{2}.
$$
Do not forget that this is a {\em straight} line in spacetime!
This means that even in weak gravity the spacetime is appreciably curved
(warped), while the 3D (space) part of the world remains almost flat.
%\begin{figure}
%\epsfysize=8cm
%\centering{\epsfbox{parab.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
%\end{figure}


Now comparing $g_{00} = 1-r_g/r \simeq 1 + {2\phi}/{c^2} $ for large $r$
we find
$$
  r_g=\frac{2GM}{c^2} \simeq 3\frac{M}{\msun}\, \mbox{km},
$$
and we see that $g_{00}$ plays a role of $\phi$ in General Relativity.
 In strong gravity the one potential is not sufficient, and all 10 potentials
$g_{ik}$ are important -- gravity is not a scalar, but a tensor force.

Thus we got the {\bf Schwarzschild metric},
\begin{equation*}
  ds^2 = \left(1-{{2GM}\over r}\right)c^2dt^2 -
  \left(1-{{2GM}\over r}\right)^{-1}dr^2 - r^2 d\Omega^2\ ,
\end{equation*}
Later we will derive it from a fundamental principle.
}

\section{Orbits in  Schwarzschild field}

Now we use the Schwarzschild metric to find the geodesics.
We have
\begin{eqnarray*}
L_s = \left(1-{{r_g}\over r}\right)\left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 -
   \left(1-{{r_g}\over r}\right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 \\
   - r^2 \left(\frac{d\theta}{d\lambda}\right)^2
   -r^2\sin\theta^2\left(\frac{d\varphi}{d\lambda}\right)^2\ .
\end{eqnarray*}
{\small
We see that $L_s$ does not depend explicitly on $\varphi$, hence from
Euler-Lagrange Equation (ELE)
$$
    \frac{d}{d\lambda}\left(\frac{\partial {L_s}}{\partial \grave{ x^m}}\right)
    -\frac{\partial {L_s}}{\partial x^m} = 0,
$$
при $m=3, \quad x^m \equiv \varphi $, и из $\pd L_s /\pd \varphi = 0 $ имеем
$$
 \frac{\partial L_s}{\partial \grave\varphi }={\rm const}=r^2\sin^2\theta{{d\phi}\over{d\lambda}}\;  .
$$
If we take the ELE for $\theta$ we see that in general we have some
oscillations, $\dot \theta \neq 0 $,  but for
\begin{equation*}
  \theta = {\pi\over 2}\ 
\end{equation*}
we find  $\dot \theta = 0 $, and $\theta$ remains constant.
{\small Invariance under spatial rotations implies conservation
of the three components of angular momentum.
Conservation of the direction of angular momentum means that
the particle will move in a plane.
We always can take the latter to be the equatorial plane of our
coordinate system.}
Since $\sin\theta = 1$ along the geodesics with our choice of the equatorial
plane,
\begin{equation*}
  r^2{{d\phi}\over{d\lambda}}={\rm const} \equiv J\ ,
\end{equation*}
i.e. the angular momentum per unit mass of a massive particle.
But this quantity is conserved for a massless particle as well
(of course, as we discussed, we cannot take the proper time as $\lambda$ then, another
parameterization is needed).
Note that the
constancy of $J$ is the GR equivalent of Kepler's second law
(equal areas are swept out in equal times).

\begin{figure}
\epsfysize=4cm
\centering{\epsfbox{OrbitsParam.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}


Independence of $L_s$ on $t$, i.e. $\pd L_s / \pd t = 0 $ in ELE leads to conservation of `energy'
\begin{equation*}
  \left(1-{{r_g}\over r}\right){{dt}\over{d\lambda}}=E\ .
\end{equation*}
For massive particles $E$ is the energy per unit mass of the particle
(and can be thought of as energy of a massless one).

Together $J$ and $E$ help to describe all orbits of particles in
the Schwarzschild geometry.
But we need one more integral.
If we treat $L_s$ as a `Lagrangian' with `time' $\lambda$, we see that a
`Hamiltonian'
$$
 H_s=\sum \frac{\partial L_s}{\partial \grave q}\grave q - L_s = L_s,
$$
and since there is no explicit dependence on `time' $\lambda$, $L_s$ itself must
be constant (let us denote it by $\epsilon$)
\begin{equation*}
  \left(1-{{r_g}\over r}\right)\left({{dt}\over{d\lambda}}\right)^2 -
  \left(1-{{r_g}\over r}\right)^{-1}\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2
  -r^2\left({{d\phi}\over{d\lambda}}\right)^2 = \epsilon\ .
  %\label{7.45}
\end{equation*}
While $E$ and $J$ are related to the components of 4-momentum of a particle
this is related to its mass.
For a massive particle we can take $\lambda = \tau$,
and this is just $\epsilon = g_{mn} u^m u^n=+1$.
For a massless particle we always have $\epsilon =0$.

{\small Below is a rather standard material on orbits and I  rewrite it from
a nice WWW book by Carroll (1997) % at \newline {\tt http://ars-www.uchicago.edu/{\~{}}carroll/notes/},
just slightly modifying.}



Multiply by $(1-r_g/r)$ and use expressions for $E$ and
$J$ to get
\begin{equation*}
  E^2-\left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2-\left(1-{{r_g}\over r}\right)
  \left({{J^2}\over{r^2}} +\epsilon\right) =0\ ,
  %\label{7.46}
\end{equation*}
which can be written  as
\begin{equation*}
  \left({{dr}\over{d\lambda}}\right)^2+ V(r) =
  E^2\ ,
  %\label{7.47}
\end{equation*}
with
\begin{equation*}
  V(r) = \left(\epsilon - \epsilon{{r_g}\over r} +
  {{J^2}\over{r^2}} - {{r_g J^2}\over {r^3}}\right)\ .
  %\label{7.48}
\end{equation*}
So equation for the radial displacements of the particle along its orbit
looks as the equation for a classical particle of unit
mass and ``energy'' $E^2$ moving in a one-dimensional potential
$V(r)$.  (The true energy per unit mass is $E$, but the
effective potential for the coordinate $r$ corresponds to $E^2$.)

To describe the orbit we need not only $r(\lambda)$,
but also $t(\lambda)$ and $\phi(\lambda)$, but with the help of $V(r)$
we understand a lot.
In the potential  $V(r)$ the first term is just a constant, the
second term corresponds exactly to the Newtonian gravitational potential,
and the third term is a centrifugal potential.
The last term is very important  at small $r$, it tells that the gravity is much stronger
there than in Newton's theory.
}

{\small
%different kinds of orbits are illustrated in the figures.
There are different curves $V(r)$ for different values
of $J$; for any one of these curves, the behavior of the orbit can be
judged by comparing the $E^2$ to $V(r)$.
The general behavior of
the particle will be to move in the potential until it reaches a
``turning point'' where $V(r)=E^2$.
Sometimes there may be no turning point.
In some cases the
particle may simply move in a circular orbit at radius $r_c= \mbox{const}$; this
happens at extrema of $V$, i.e. at $dV/dr=0$.
Differentiating $V$
 we find that the circular orbits occur when
\begin{equation*}
  \epsilon r_g r_c^2/2 - J^2 r_c +(3/2) r_g J^2\gamma =0\ ,
  %\label{7.49}
\end{equation*}
where $\gamma=0$ in Newtonian gravity and $\gamma=1$ in GR.
Circular orbits will be stable if they correspond to
a minimum of the potential, and unstable at a maximum.
%Bound orbits which are not circular will oscillate
%around the radius of the stable circular orbit.


\begin{figure}
\epsfysize=8cm
\centering{\epsfbox{NewtMassOrbits.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}


%\begin{figure}
%\epsfysize=8cm
%\centering{\epsfbox{seven5.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
%\end{figure}


In Newtonian gravity circular orbits appear at
\begin{equation*}
  r_c = {{J^2} c^2 \over{\epsilon GM}}\ .
  %\label{7.50}
\end{equation*}
For massless particles $\epsilon=0$, and there are no circular orbits.
%this is consistent with the figure for `Newtonian' massless particles.
% which illustrates that there are no bound orbits of any sort.

In GR the situation is different, but only for $r$
sufficiently small.
Since the difference resides in the term $-r_g J^2/r^3$,
as $r\rightarrow\infty$ the behaviors are identical in the two
theories.
But as $r\rightarrow 0$ the potential goes to $-\infty$
rather than $+\infty$ as in the Newtonian case.
At $r=r_g$ the
potential is always zero; inside this radius is the black hole.
(Units of length $2GM/c^2$ are used there in the figure with $r_g=1$).
For massless particles
there is always a barrier (except for $J=0$, for which the potential
vanishes identically), but a sufficiently energetic photon will
nevertheless go over the barrier and be dragged down to
the center.
(Note that ``sufficiently energetic'' means ``in comparison
to its angular momentum'' -- in fact the frequency of the photon is
immaterial, only the direction in which it is pointing.)
At the top of the barrier there are unstable circular orbits.
For $\epsilon=0$, $\gamma=1$, we can easily solve %(7.49)
to obtain
\begin{equation*}
  r_c = (3/2) r_g \ .
  %\label{7.51}
\end{equation*}
This is borne out by the figure, which shows a maximum of $V(r)$ at
$r=(3/2) r_g $ for every $J$.
This means that a photon can orbit forever in
a circle at this radius, but any
perturbation will cause it to fly away either to $r=0$ or
$r=\infty$.
}
\begin{figure}
\epsfysize=8cm
\centering{\epsfbox{GRMassOrbits.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}

\begin{figure}
\epsfysize=8cm
\centering{\epsfbox{GRMassLessOrbits.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}

For massive particles there are once again different regimes depending
on the angular momentum.
The circular orbits are at
\begin{equation*}
  r_c = {{J^2\pm \sqrt{J^4 -  3 r_g^2 J^2}}\over{r_g}}\ .
  %\label{7.52}
\end{equation*}
For large $J$ there will be two circular orbits, one stable and one
unstable.
In the $J\rightarrow\infty$ limit their radii are given by
\begin{equation*}
  r_c = {{J^2\pm J^2(1 - 3 r_g^2/2J^2)}\over{r_g}} =
  \left({{J^2c^2}\over{GM}} ,\ {3GM \over c^2} \right)\ .
  %\label{7.53}
\end{equation*}
In this limit the stable circular orbit becomes farther and farther
away, while the unstable one approaches $3GM/c^2$, behavior which parallels
the massless case.
As we decrease $J$ the two circular
orbits come closer together; they coincide % when the discriminant in (7.52) vanishes,
at
\begin{equation*}
  J = \sqrt{3} r_g\ ,
  %\label{7.54}
\end{equation*}
for which
\begin{equation*}
  r_c = 3r_g\ ,
%  \label{7.55}
\end{equation*}
and disappear entirely for smaller $J$.
Thus, $3r_g$ is the smallest
possible radius of a stable circular orbit in the
Schwarzschild metric.
There are also unbound orbits, which come in
from infinity and turn around, and bound but noncircular ones, which
oscillate around the stable circular radius.
Note that such
orbits, which would describe exact conic sections in
Newtonian gravity, will not do so in GR, although we would have to
solve the equation for $d\phi/dt$ to demonstrate it.
Finally, there are
orbits which come in from infinity and continue all the way in to
$r=0$; this can happen either if the energy is higher than the barrier,
or for $J<\sqrt{3}r_g$, when the barrier goes away entirely.

We have therefore found that the Schwarzschild solution possesses
stable circular orbits for $r>3r_g$ and unstable circular orbits for
$(3/2) r_g < r < 3r_g$.
%It is important to remember that these are only
%the geodesics; there is nothing to stop an accelerating particle from
%dipping below $r=3GM$ and emerging, as long as it stays beyond
%$r=2GM$.


\subsection{Иллюстрации}
\label{sec:ill}
См. ниже картинку для потенциала из книги Шапиро и Тюкольского,
и Новикова и Фролова. Обозначения слегка другие, но очевидные.
А также из последней книжки типы орбит для разных энергий,
указанных на предыдущем рисунке.

\begin{figure}
\epsfysize=18cm
\centering{\epsfbox{ShapTeukF12.3.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}

\begin{figure}
\epsfysize=8cm
\centering{\epsfbox{novfrolBHpot.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}


\begin{figure}
\epsfysize=5cm
\centering{\epsfbox{novfrolBHorb.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
\end{figure}

\subsection{Эксперименты по проверке ОТО}
\label{sec:tests}


Most experimental tests of general relativity involve the motion of
test particles in the solar system, and hence geodesics
of the Schwarzschild metric; this is therefore a good place to
pause and consider these tests.
Einstein suggested three tests:
the deflection of light, the precession of perihelia, and gravitational
redshift.

Четвертым тестом в Солнечной системе часто называют эффект Шапиро.
Может быть, рассмотрим  его позднее.


%\begin{figure}
%\epsfysize=4cm
%\centering{\epsfbox{seven8.ps}}
%\caption{}
%  \label{}
%\end{figure}
{\small
The major axis
of Mercury's orbit must precess at a rate of $42.9$~arcsecs every 100
years according to GR.
The observed value is $5601$~arcsecs/100~yrs.
However,
much of that is due to the precession of equinoxes in our geocentric
coordinate system: $5025$~arcsecs/100~yrs.
The gravitational perturbations of the other planets contribute an
additional $532$~arcsecs/100~yrs, leaving $43$~arcsecs/100~yrs
to be explained by GR, which it does quite well.
}

\section{Из предыдущих семинаров}
\label{sec:oldsem}


Мы уже обсуждали значение радиуса Шварцшильда $r_g=2M \sim 3$ км для Солнца  в геометрических  единицах  или $r_g=2 G M/c^2$ в обычных единицах. 
Оно получается, если будем применять
выражение $g_{00}=1+2\phi$ для слабого поля, (его мы уже знаем) и подставим $\phi=-M/r$.
Видно, что при $r=2M=r_g$ получаем $g_{00}=0$.
Т.е. бесконечное замедление времени с точки зрения далёкого наблюдателя.
Конечно, это уже не слабое поле, но оказывается, что всё так и в сильном
сферически-симметричном поле в ОТО. Это мы скоро выведем строго.

Наташа Дунина-Барковская ещё пару семинаров назад оценила Планковскую плотность, а я написал
определение Планковской массы $M_{Pl}$ -- её радиус Шварцшильда равен
комптоновскому радиусу:
$$
  \frac{2 G M_{Pl}} {c^2}   \approx \frac{\hbar}{ M_{Pl} c} 
$$
Получим $M_{Pl}  \equiv \sqrt(\hbar c/ G) \sim 2\cdot 10^{-5}$ грамм
или $\sim 10^{19}$ ГэВ.

Я показывал на диаграмме $(t,r)$ как при коллапсе образуется поверхность, за которую
не может вылететь фотон или нейтрино, рожденные в центре звезды - эта поверхность и есть горизонт событий.
Это не просто сфера постоянного радиуса, а  3-мерная поверхность в 4-мерном
мире. Она возникает , имея  нулевой  радиус  в  какой-то момент,  и только
асимптотически её радиус стремится к $r_g$.


\section{Наташа Дунина-Барковская. Wormholes as Black Hole Foils}

Это по работе \url{http://arxiv.org/abs/0704.2667}.

"Wormholes as Black Hole Foils" ("Кротовые норы как имитаторы черных дыр")
Авторы  Thibault Damour, and Sergey N. Solodukhin

arXiv:0704.2667v1 [gr-qc] 20 Apr 2007

\subsection{Введение}
\label{sec:intr}

Одним из наиболее замечательных предсказаний эйнштейновской теории гравитации является существование черных дыр.
Хотя эти объекты впервые появились в знаменитом точном сферически симметричном решении Карла Шварцшильда [1] через несколько
месяцев после того, как Эйнштейн закончил создание своей теории, но многие физики работали в течение долгих лет,
чтобы создать чёткую концепцию черной дыры (см., например, [2]). В течение долгого времени часть физического сообщества
весьма скептически относилась к фактическому существованию черных дыр, но ситуация изменилась в последние годы,
в основном благодаря различным астрономическим наблюдениям: в рентеновских двойных системах, в ядрах галактик
(в том числе нашей Галактики) и пр. Обзор астрономических свидетельств о существовании черных дыр приведен в [3].

В настоящее время черные дыры являются частью основного ``набора инструментов'' физиков и астрофизиков, и их существование
в реальной вселенной принимается за данность. Однако интересно критически исследовать вопрос о том, до какой степени
нынешние или будущие астрофизические данные могут дать наблюдательное подтверждение существования черных дыр. Фактически,
черные дыры - это сложные теоретические конструкции со многими наблюдательными свойствами, и каждое из наблюдательных
подтверждений обычно относится к одному конкретному свойству. Например, во многих наблюдениях кандидаты в черные дыры
обычно выбираются потому, что их предполагаемая масса превосходит некий теоритеческий предел, или на основании их сильного
внешнего гравитационного поля. Некоторые авторы утверждают, что в некоторых наблюдениях исследованы или будут
исследованы более характерные особенности черных дыр, в особености существование горизонта событий. Например, Нараян
и его сотрудники утверждали, что в некоторых случаях у кандидата в черные дыры ``отсутствует поверхность'', т.е. у него
должен существовать горизонт событий [3, 4]. С другой стороны, часто также утверждается, что будущие данные по
гравитационным волнам от LIGO/Virgo/GEO докажут существование черных дыр и подтвердят их уникальные свойства либо
посредством наблюдения характерных ``квази-нормальных мод'' (QNM) сигнальных частот недавно образованной черной
дыры [5], либо посредством наблюдательных проверок ``уникальной'' структуры геометрии черной дыры, гарантированной
теоремами об отсутствии ``волос'' [6, 7].

Хорошо известная и полезная стратегия оценки того, в какой степени наблюдения могут реально характеризовать присутствие
черных дыр в рамках ОТО, состоит в том, чтобы рассмотреть ``имитаторы черных дыр'', т.е. теоретические объекты,
которые имитируют некоторые аспекты черных дыр, в то же время не обладая некоторыми из их характерных особенностей.
Некоторые примеры применения этой стратегии рассматривались в прошлом. Например, возможные черные дыры в биметрической
теории гравитации Розена [8], или, в более недавнее время, некоторые модели ``гравзвезд'' [9].

В данной заметке мы рассмотрим очень простую разновидность имитатора черной дыры - кротовую нору [10]. Хотя кротовая
нора не имеет горизонта событий и в принципе отличается от черной дыры по некоторым другим существенным свойствам,
мы продемонстрируем здесь, что если определенный параметр, входящий в определение кротовой норы, достаточно мал,
то кротовая нора в астрофизическом отношении практически неотличима от черной дыры. Наше окончательное заключение
состоит в том, что, возможно, уникальный способ убедительного подтверждения наличия черной дыры (с горизонтом событий)
состоит в наблюдении ее излучения Хокинга [11]. И даже это заключение требует некоторых оговорок, поскольку мы
увидим, что некоторые свойства кротовых нор имеют тенденцию имитировать квантовый спектр черных дыр, поэтому возможно,
что некоторые (подлежащие определению) механизмы образования кротовых нор могли бы привести к излучению типа Хокинга.



\subsection{ Wormhole metric}
%\setcounter{equation}0
 We shall consider here a very simple type
of wormhole spacetime, as described by the metric
 \be ds^2=(g(r)+\lambda^2)dt^2-{dr^2\over
g(r)}-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\, , \label{1} 
\ee
 where
$g(r) \equiv 1-{2GM/ r}$. This metric differs from the
standard Schwarzschild metric %\cite{Schwarzschild:1916uq}
 only
through the presence of the dimensionless parameter $\lambda$.
When $\lambda = 0$ we recover
 a black hole of
mass $M$ with an event horizon located at the radius $r=2GM$. 
By
contrast, when $\lambda\neq 0$
 the structure of the spacetime is
dramatically different: there is no event horizon, instead there
is a throat at $r=2GM$ that joins two isometric, asymptotically
flat regions. This spacetime is an example of  a Lorentzian
wormhole [10]. %\cite{Visser:1995cc}. 
In three dimensions a similar
modification of the black hole metric was studied by Solodukhin [12]
%\cite{Solodukhin:2005qy} 
in an attempt to restore  Poincar\'e
recurrences in black holes. The parameter $\lambda$ in the latter
construction was chosen to be exponentially small 
\be \lambda\sim e^{-4\pi GM^2} \label{2} \ee 
in order to reproduce the expected
dependence of the Poincar\'e recurrence time on the entropy of a
black hole. Though we shall leave free the value of $\lambda$ in
this paper, and discuss what range of values for $\lambda$ is
compatible with present and foreseeable observations, we will see
below that exponentially small values of the type of (\ref{2})
seem indeed adequate for mimicking not only the classical, but
also the quantum properties of  a Schwarzschild black hole.

The event horizon of the original black hole metric is replaced,
in the wormhole metric (\ref{1}), by a high-tension distribution (a
kind of {\it brane}) localized in a thin shell around the center
of the {\it throat} at $r=2GM$. More precisely, with our
simplifying choice of wormhole metric (\ref{1}), the stress-energy
tensor distribution sustaining the throat has vanishing energy
density, but comprises radial and tangential tensions proportional
to $1/\lambda^2$.

\subsection{Литература}
\label{sec:lit}


[1] K. Schwarzschild, "On The Gravitational Field Of A Mass Point According To Einstein's Theory," Sitzungsber.
Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys. ) 1916 (1916) 189;
see English translation in arXiv:physics/9905030.

[2] C. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheeler,
"Gravitation," San Francisco 1973, 1279p

[3] R. Narayan, "Black Holes in Astrophysics," New J. Phys. 7, 199 (2005)
[arXiv:gr-qc/0506078].

[4] A. E. Broderick and R. Narayan, "On The Nature of the Compact Dark Mass at the Galactic Center",
Astrophys. J. 638, L21 (2006) [arXiv:astro-ph/0512211].

[5] K. D. Kokkotas and B. G. Schmidt, "Quasi-normal modes of stars and black holes,"
Living Rev. Rel. 2, 2 (1999) [arXiv:gr-qc/9909058].

[6] F. D. Ryan, "Gravitational waves from the inspiral of a compact object into a
massive, axisymmetric body with arbitrary multipole moments",
Phys. Rev. D 52, 5707 (1995).

[7] S. A. Hughes, "Trust but verify: The case for astrophysical black holes",
in: Proceedings of 33rd SLAC Summer Institute on Particle Physics (SSI 2005): Gravity in
the Quantum World and the Cosmos, Menlo Park, California, 25 Jul - 5 Aug 2005,
pp L006 [arXiv:hep-ph/0511217].

[8] W. R. Stoeger, "Orbital Topography And Other Astrophysical Consequences Of
Rosen's Bimetric Theory Of Gravity," Gen. Rel. Grav. 9, 165 (1978).
12

[9] A. E. Broderick and R. Narayan, "Where are all the gravastars? Limits upon the
gravastar model from accreting black holes," Class. Quant. Grav. 24, 659 (2007)
[arXiv:gr-qc/0701154].

[10] M. Visser, "Lorentzian wormholes: From Einstein to Hawking," Woodbury, USA:
AIP (1995) 412 p

[11] S. W. Hawking, "Particle Creation By Black Holes," Commun. Math. Phys. 43, 199
(1975) [Erratum-ibid. 46, 206 (1976)].

[12]  S.~N.~Solodukhin,
  ``Restoring unitarity in BTZ black hole,''
  Phys.\ Rev.\  D {\bf 71}, 064006 (2005)
  [arXiv:hep-th/0501053];
    ``Can black hole relax unitarily?,''
  arXiv:hep-th/0406130.


\end{document}
